Параллельные прямые 4. Отрезки МК и РТ являются диаметрами двух окружностей с общим центром О. Докажите, что прямые МТ и РК параллельны. 5. Треугольник АВС – равнобедренный с основа- нием АС. На его биссектрисе BD взята точка М, а на основании – точка К, причем, МК || АВ. Найдите уг- лы треугольника МКД, если ДАВС 126°, ∠BAC- -27°. 6. Докажите, что на рисунке прямые АВ и К па- раллельны, если треугольник АВК – равнобедренный с основанием ВК, а луч КВ является биссектрисой угла АКМ.

4. Параллельные прямые

Давай докажем, что прямые MT и PK параллельны.

Так как MK и PT - диаметры, то углы MTO и OKP - прямые. Угол MOT равен углу POK как вертикальные. Следовательно, треугольники MTO и OKP подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует, что угол TMO равен углу KPO. А эти углы являются внутренними накрест лежащими углами при прямых MT и PK и секущей MK. Следовательно, прямые MT и PK параллельны.

5. Треугольник ABC

Давай найдем углы треугольника MKD.

1) \(\angle ABC = 126^\circ\), \(\angle BAC = 27^\circ\). Тогда \(\angle BCA = 180^\circ - 126^\circ - 27^\circ = 27^\circ\). Значит, треугольник ABC равнобедренный с основанием AB.

2) BD - биссектриса, следовательно, \(\angle ABD = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 126^\circ = 63^\circ\).

3) MK || AB, следовательно, \(\angle BMK = \angle ABD = 63^\circ\) как соответственные углы.

4) \(\angle MKB = 180^\circ - \angle BMK = 180^\circ - 63^\circ = 117^\circ\).

5) В треугольнике ABK: \(\angle BAK = 27^\circ\), \(\angle ABK = 63^\circ\), следовательно, \(\angle AKB = 180^\circ - 27^\circ - 63^\circ = 90^\circ\).

6) Так как MK || AB, то \(\angle AKM = \angle KAB = 27^\circ\) как накрест лежащие углы.

7) В треугольнике MKD: \(\angle MKD = \angle MKB - \angle DKB = 117^\circ - 90^\circ = 27^\circ\), \(\angle DMK = 63^\circ\). Тогда \(\angle MDK = 180^\circ - 27^\circ - 63^\circ = 90^\circ\).

Ответ: \(\angle MKD = 27^\circ\), \(\angle DMK = 63^\circ\), \(\angle MDK = 90^\circ\)

6. Доказать, что на рисунке прямые AB и KN параллельны

Дано: треугольник ABK равнобедренный с основанием BK, луч KB - биссектриса угла AKN.

Доказать: AB || KN.

1) Так как ABK - равнобедренный треугольник с основанием BK, то \(\angle BAK = \angle BKA\).

2) KB - биссектриса угла AKN, следовательно, \(\angle AKB = \angle BKN\).

3) Значит, \(\angle BAK = \angle BKN\).

4) Углы BAK и BKN - накрест лежащие углы при прямых AB и KN и секущей AK.

5) Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, AB || KN.

Ответ: AB || KN