5 Параллельность трех прямых Докажем лемму о пересечении плоскости параллельными прямыми, необходимую для дальней- шего изложения. Лемма Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость. Доказательство Рассмотрим параллельные прямые а и b, одна из которых прямая а — пересекает плоскость а в точке М (рис. 13, а). Докажем, что прямая в также пересекает плоскость а, т. е. имеет с ней только одну общую точку. мой в и плоскости а. Обозначим буквой в плоскость, в которой лежат параллельные прямые а и в. Так как две различ- ные плоскости а и в имеют общую точку М, то по ак- сиоме Аз они пересекаются по некоторой прямой р (рис. 13, б). Эта прямая лежит в плоскости в и пересе- кает прямую а (в точке М), поэтому она пересекает па- раллельную ей прямую в в некоторой точке №. Пря- мая р лежит также в плоскости а, поэтому № плоскости а. Следовательно, № точка общая точка пря- Докажем теперь, что прямая в не имеет дру- гих общих точек с плоскостью а, кроме точки №. Это и будет означать, что прямая в пересекает плоскость а. Действительно, если бы прямая в имела еще одну общую точку с плоскостью а, то она целиком лежала бы в плоскости а и, значит, была бы общей прямой плоско- стей а и в, т. е. совпадала бы с прямой р. Но это невоз- можно, так как по условию прямые а и в параллельны, а прямые а и р пересекаются. Лемма доказана. Д Из курса планиметрии известно, что если три прямые лежат в одной плоскости и две из них па- раллельны третьей прямой, то эти две прямые парал- лельны. Аналогичное утверждение имеет место и для трех прямых в пространстве. Сформулируем и дока- жем это утверждение.