Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Параллелепипед построен на векторах а = 3i + 2j - 5k, b = i - j + 4k, c = i - 3j + k. Вычислите высоту h данного параллелепипеда, если за основание взят параллелограмм, построенный на векторах а и b.
Ответ:
Краткое пояснение:
Метод: Высота параллелепипеда (h) находится как отношение его объема (V) к площади основания (Sосн). Объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, равен модулю смешанного произведения векторов: \( V = |(a \times b) \cdot c| \). Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b, равна модулю их векторного произведения: \( S_{осн} = |a \times b| \). Таким образом, \( h = \frac{|(a \times b) \cdot c|}{|a \times b|} \).
Пошаговое решение:
- Вычисляем векторное произведение \(a \times b\):
\( a = (3, 2, -5) \)
\( b = (1, -1, 4) \)
\[ a \times b = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 2 & -5 \\ 1 & -1 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 4 - (-5) \cdot (-1)) - \mathbf{j}(3 \cdot 4 - (-5) \cdot 1) + \mathbf{k}(3 \cdot (-1) - 2 \cdot 1) \]
\[ a \times b = \mathbf{i}(8 - 5) - \mathbf{j}(12 + 5) + \mathbf{k}(-3 - 2) \]
\[ a \times b = 3\mathbf{i} - 17\mathbf{j} - 5\mathbf{k} \]
Таким образом, \( a \times b = (3, -17, -5) \). - Вычисляем площадь основания \(S_{осн}\):
\[ S_{осн} = |a \times b| = \sqrt{3^2 + (-17)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 289 + 25} = \sqrt{323} \] - Вычисляем смешанное произведение \((a \times b) \cdot c\):
\( c = (1, -3, 1) \)
\[ (a \times b) \cdot c = (3, -17, -5) \cdot (1, -3, 1) = 3 \cdot 1 + (-17) \cdot (-3) + (-5) \cdot 1 \]
\[ (a \times b) \cdot c = 3 + 51 - 5 = 49 \] - Вычисляем объем параллелепипеда \(V\):
\[ V = |(a \times b) \cdot c| = |49| = 49 \] - Вычисляем высоту \(h\):
\[ h = \frac{V}{S_{осн}} = \frac{49}{\sqrt{323}} \]
Ответ: \( \frac{49}{\sqrt{323}} \)
