Отрезок MK — диаметр окружности с центром О, а MP и PK — равные хорды этой окружности. Найдите ∠РОМ.

Ответ: 45°

1. Обозначим равные хорды и углы:

   Т.к. MP = PK, то дуги, на которые они опираются тоже равны: дуга MP = дуга PK.

   Углы, опирающиеся на равные дуги, тоже равны: ∠MOP = ∠POK.

   Обозначим каждый из этих углов за x.

2. Сумма углов:

   Т.к. MK — диаметр, то ∠MOK — развернутый, т.е. равен 180°.

   Сумма углов ∠MOP и ∠POK равна ∠MOK:

   x + x = 180°

   2x = 180°

   x = 90°

3. Рассмотрим треугольник MOP:

   Т.к. MO и OP — радиусы окружности, то MO = OP.

   Следовательно, треугольник MOP — равнобедренный.

   В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠OMP = ∠OPM.

   Обозначим их за y.

4. Сумма углов в треугольнике:

   Сумма углов в треугольнике равна 180°:

   ∠MOP + ∠OMP + ∠OPM = 180°

   90° + y + y = 180°

   2y = 90°

   y = 45°

5. Итог:

   Угол ∠POM равен углу y, то есть 45°.

Ответ: 45°