Отрезок AB точками P и Q делится на три равные части. Вне отрезка AB по одну сторону от него взяты точки C и D так, что AC = BD и CQ = DP, ∠DPB + ∠CQA = 158°. Найдите ∠APD.

Так как точки P и Q делят отрезок AB на три равные части, то \(AQ=2AP\) и \(BP=2AP\), следовательно, \(AQ=BP\).

Рассмотрим треугольники \(ACQ\) и \(BDP\):

• \(AC=BD\) по условию;
• \(CQ=DP\) по условию;
• \(AQ=BP\), так как \(AP=PQ=QB\).

Следовательно, треугольники \(ACQ\) и \(BDP\) равны по трём сторонам. Поэтому соответствующие углы равны:

\(\angle CQA=\angle DPB\).

По условию их сумма равна \(158^\circ\), значит:

\(2\angle DPB=158^\circ\),

\(\angle DPB=79^\circ\).

Углы \(APD\) и \(DPB\) смежные, поэтому:

\(\angle APD=180^\circ-79^\circ=101^\circ\).

Ответ: \(101^\circ\).