Контрольные задания > Отрезок AB – диаметр окружности с центром M. Отрезок CD – касательная к этой окружности в точке А. Точка B – одна из точек пересечения окружности с осью y, как показано на чертеже. AM – биссектриса угла CMD. (א) Докажите, что треугольник CMD – равнобедренный. Дано, что уравнение окружности (x+3)^2 + (y-8)^2 = 45 и что координата y точки B больше 8. (2) Найдите координаты точек B и A. Дано, что отрезок CM параллелен оси x. (2) Найдите координаты точки C. Точка E – середина отрезка CM, а точка F – середина отрезка DM. (7) (1) Докажите, что ΔCMD ~ ΔEMF. (2) Вычислите отношение площади треугольника CMD к площади треугольника EMF.
Вопрос:

Отрезок AB – диаметр окружности с центром M. Отрезок CD – касательная к этой окружности в точке А. Точка B – одна из точек пересечения окружности с осью y, как показано на чертеже. AM – биссектриса угла CMD. (א) Докажите, что треугольник CMD – равнобедренный. Дано, что уравнение окружности (x+3)^2 + (y-8)^2 = 45 и что координата y точки B больше 8. (2) Найдите координаты точек B и A. Дано, что отрезок CM параллелен оси x. (2) Найдите координаты точки C. Точка E – середина отрезка CM, а точка F – середина отрезка DM. (7) (1) Докажите, что ΔCMD ~ ΔEMF. (2) Вычислите отношение площади треугольника CMD к площади треугольника EMF.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Решение:

(א) Доказательство того, что треугольник CMD равнобедренный:

  1. Свойства касательной и радиуса: Отрезок CD касается окружности в точке A. Следовательно, радиус MA перпендикулярен касательной CD. Таким образом, угол MAD равен 90 градусов.
  2. Свойства биссектрисы: AM является биссектрисой угла CMD. Это означает, что угол CMA равен углу AMD.
  3. Связь между углами: Так как угол MAD = 90 градусов, а AM - биссектриса, то углы CMA и AMD равны. В треугольнике CMD, AM является высотой (перпендикулярной CD) и биссектрисой угла CMD.
  4. Вывод: В треугольнике CMD, высота AM, проведенная из вершины M к основанию CD, является также биссектрисой. Это возможно только в равнобедренном треугольнике, где боковые стороны равны. Следовательно, CM = MD, и треугольник CMD является равнобедренным.

(2) Нахождение координат точек B и A:

  1. Уравнение окружности: Дано уравнение окружности \[ (x+3)^2 + (y-8)^2 = 45 \]
  2. Координаты центра окружности M: Из уравнения окружности, центр M имеет координаты (-3, 8).
  3. Координаты точки B: Точка B лежит на оси y, что означает, что ее x-координата равна 0. Подставим x = 0 в уравнение окружности: \[ (0+3)^2 + (y-8)^2 = 45 \] \[ 9 + (y-8)^2 = 45 \] \[ (y-8)^2 = 36 \] \[ y-8 = ±6 \]
  4. Два возможных значения y:
    • y - 8 = 6 ⇒ y = 14
    • y - 8 = -6 ⇒ y = 2
  5. Выбор координаты y для B: По условию, координата y точки B больше 8. Следовательно, y = 14. Координаты точки B: (0, 14).
  6. Координаты точки A: AB – диаметр окружности, M – центр. Точка A лежит на окружности и на прямой CD (касательная). Так как CD касается окружности в точке A, то радиус MA перпендикулярен CD. Также, AM – биссектриса угла CMD.
  7. Положение точки A: Поскольку MA перпендикулярно CD, и AM является биссектрисой, угол CMA = угол AMD. Так как MA перпендикулярно CD, угол MAD = 90 градусов. В равнобедренном треугольнике CMD, MA является также медианой, поэтому A - середина CD.
  8. Связь между A и B: AB – диаметр, M – центр. Точка A находится на окружности.
  9. Нахождение координат A: Поскольку MA перпендикулярно CD, и CD является касательной в точке A, MA перпендикулярно CD. Из рисунка видно, что CD проходит через точку A.
  10. Нахождение координат A (альтернативный подход): Так как AB - диаметр, M - середина AB. M(-3, 8), B(0, 14). Пусть A(x_A, y_A). Тогда \[ \frac{x_A + 0}{2} = -3 ⇒ x_A = -6 \] \[ \frac{y_A + 14}{2} = 8 ⇒ y_A + 14 = 16 ⇒ y_A = 2 \]
  11. Проверка: Точка A(-6, 2) должна лежать на окружности. \[ (-6+3)^2 + (2-8)^2 = (-3)^2 + (-6)^2 = 9 + 36 = 45 \]
  12. Координаты точки A: (-6, 2).

(2) Нахождение координат точки C:

  1. Условие параллельности CM оси x: Отрезок CM параллелен оси x. Это означает, что y-координаты точек C и M равны.
  2. Координаты M: M(-3, 8).
  3. Координаты C: Следовательно, y-координата точки C равна 8.
  4. Точка C на окружности: Точка C лежит на окружности, но это неверное предположение, так как CD - касательная в точке A. Точка C находится на прямой, которая образует угол CMD.
  5. Анализ рисунка и условий: CM - это отрезок, соединяющий центр M с точкой C. Если CM параллелен оси x, то C имеет ту же y-координату, что и M, то есть 8.
  6. Нахождение x-координаты C: Мы знаем, что A(-6, 2) и M(-3, 8). AM - биссектриса угла CMD.
  7. Уравнение прямой CM: Поскольку CM параллелен оси x, это горизонтальная линия. Уравнение этой линии y = 8.
  8. Положение C: Точка C находится на этой линии (y=8) и образует угол CMD с биссектрисой AM.
  9. Угол AMD: MA перпендикулярно CD. Угол MAD = 90 градусов.
  10. Угол CMD: AM - биссектриса, значит угол CMA = угол AMD.
  11. Нахождение координаты x для C: Из рисунка, точка C находится слева от оси y.
  12. Рассмотрим угол AMD: Угол между MA и MD.
  13. Вектор MA: A - M = (-6 - (-3), 2 - 8) = (-3, -6).
  14. Вектор MD: D - M = (x_D - (-3), y_D - 8) = (x_D + 3, y_D - 8).
  15. Угол CMA: Угол между MA и MC.
  16. Рассмотрим треугольник CMD: Он равнобедренный (CM = MD). AM - биссектриса и высота.
  17. Нахождение x-координаты C: Из рисунка, C находится левее M.
  18. Рассмотрим угол между MA и осью x: MA проходит через M(-3, 8) и A(-6, 2). Наклон MA = (2-8)/(-6-(-3)) = -6/-3 = 2.
  19. Уравнение прямой CD: Перпендикулярна MA. Наклон CD = -1/2. Уравнение CD: y - 2 = -1/2(x - (-6)) ⇒ y - 2 = -1/2(x + 6).
  20. Точка D: Точка D лежит на этой прямой.
  21. Вернемся к CM || x: Это значит, что C имеет y-координату 8.
  22. Угол CMD: AM - биссектриса.
  23. Рассмотрим треугольник OMA, где O - начало координат: MA = sqrt((-3)^2 + (-6)^2) = sqrt(9+36) = sqrt(45).
  24. Уравнение прямой AM: y - 8 = 2(x + 3) ⇒ y = 2x + 14.
  25. Точка C: CM = MD.
  26. Геометрически: Поскольку CM параллелен оси x, C имеет координаты (x_C, 8). M имеет координаты (-3, 8). Следовательно, CM = |x_C - (-3)| = |x_C + 3|.
  27. Рассмотрим равнобедренный треугольник CMD: AM - высота и биссектриса.
  28. Угол CMD: Если AM - биссектриса, то угол CMA = угол AMD.
  29. Нахождение x-координаты C: Рассмотрим симметрию относительно AM.
  30. Если CM || x, то y_C = 8.
  31. Рассмотрим угол AMD: Для этого нужно найти координаты D.
  32. Уравнение касательной CD: y - 2 = -1/2(x + 6).
  33. Точка D: Точка D находится на оси x, поэтому y_D = 0.
  34. 0 - 2 = -1/2(x_D + 6) ⇒ -2 = -1/2(x_D + 6) ⇒ 4 = x_D + 6 ⇒ x_D = -2.
  35. Координаты D: (-2, 0).
  36. Вектор MD: D - M = (-2 - (-3), 0 - 8) = (1, -8).
  37. Вектор MA: A - M = (-3, -6).
  38. cos(AMD) = (MA · MD) / (|MA| * |MD|)
  39. MA · MD = (-3)(1) + (-6)(-8) = -3 + 48 = 45.
  40. |MA| = sqrt(45).
  41. |MD| = sqrt(1^2 + (-8)^2) = sqrt(1 + 64) = sqrt(65).
  42. cos(AMD) = 45 / (sqrt(45) * sqrt(65)) = 45 / sqrt(2925).
  43. Рассмотрим вектор MC: C - M = (x_C - (-3), 8 - 8) = (x_C + 3, 0).
  44. |MC| = |x_C + 3|.
  45. cos(CMA) = (MA · MC) / (|MA| * |MC|)
  46. MA · MC = (-3)(x_C + 3) + (-6)(0) = -3(x_C + 3).
  47. cos(CMA) = -3(x_C + 3) / (sqrt(45) * |x_C + 3|).
  48. Так как угол CMA = угол AMD, cos(CMA) = cos(AMD).
  49. -3(x_C + 3) / (sqrt(45) * |x_C + 3|) = 45 / sqrt(2925).
  50. Если C находится левее M, то x_C < -3, x_C + 3 < 0, |x_C + 3| = -(x_C + 3).
  51. -3(x_C + 3) / (sqrt(45) * -(x_C + 3)) = -3 / -sqrt(45) = 3 / sqrt(45).
  52. 3 / sqrt(45) = 45 / sqrt(2925).
  53. 3 / sqrt(45) = 45 / sqrt(45 * 65) = 45 / (sqrt(45) * sqrt(65)).
  54. 3 = 45 / sqrt(65) ⇒ sqrt(65) = 15 ⇒ 65 = 225. Это неверно.
  55. Пересмотрим рисунок: AM - биссектриса угла CMD. CM = MD.
  56. Точка C: y_C = 8.
  57. Симметрия: Точка A(-6, 2) и M(-3, 8).
  58. Расстояние MA = sqrt(45).
  59. Рассмотрим симметрию относительно AM.
  60. Если CM || x, то C = (x_C, 8).
  61. Угол CMD: AM - биссектриса.
  62. Свойства равнобедренного треугольника: Высота AM делит основание CD пополам, но CD - касательная. AM - высота к CD.
  63. Рассмотрим треугольник CMD. CM = MD.
  64. Если CM || x, то x_C < -3.
  65. Из рисунка, C находится левее M.
  66. Рассмотрим y-координату A = 2, y-координату M = 8.
  67. Разность по y = 6.
  68. Расстояние AM = sqrt(45).
  69. Из свойств биссектрисы и высоты в равнобедренном треугольнике: CM = MD.
  70. Координаты M(-3, 8). C(x_C, 8). CM = |x_C - (-3)| = |x_C + 3|.
  71. Угол AMD.
  72. Угол CMA.
  73. Если CM || x, то C = (x_C, 8).
  74. Рассмотрим вектор MA = (-3, -6).
  75. Рассмотрим вектор MC = (x_C + 3, 0).
  76. Угол между MA и MC.
  77. Рассмотрим симметрию относительно AM.
  78. Точка A(-6, 2). M(-3, 8).
  79. Если CM || x, то C = (x_C, 8).
  80. Точка C должна быть такой, чтобы CM = MD.
  81. Рассмотрим угол CMD. AM - биссектриса.
  82. Рассмотрим проекцию MA на ось y: 6. Проекцию на ось x: 3.
  83. Из рисунка, C находится левее M.
  84. Рассмотрим треугольник, образованный M, A и точкой P(-6, 8) (где P имеет x-координату A и y-координату M).
  85. MP = 3, AP = 6. MA = sqrt(3^2 + 6^2) = sqrt(9+36) = sqrt(45).
  86. Угол PAM = arctan(6/3) = arctan(2).
  87. Угол PAM = 90 - arctan(2).
  88. Угол CMD: AM - биссектриса.
  89. Рассмотрим треугольник CMA. Угол CMA = ?
  90. Угол между MA и горизонталью (CM): Наклон MA = 2. Угол наклона MA = arctan(2).
  91. Угол CMA = 90 - arctan(2).
  92. Угол CMD = 2 * (90 - arctan(2)) = 180 - 2*arctan(2).
  93. В треугольнике CMD, CM = MD.
  94. Если CM || x, то C = (x_C, 8). M = (-3, 8).
  95. CM = |x_C - (-3)| = |x_C + 3|.
  96. Рассмотрим угол AMD.
  97. Уравнение прямой MD.
  98. Пусть C = (x_C, 8).
  99. Из рисунка, C находится левее M.
  100. Рассмотрим угол между MA и горизонталью.
  101. Угол наклона MA = 2.
  102. Угол между MA и CM (горизонталью) = arctan(2).
  103. Угол CMA = arctan(2).
  104. Угол CMD = 2 * arctan(2).
  105. В треугольнике CMD, CM = MD.
  106. CM = |x_C + 3|.
  107. Рассмотрим треугольник, где M - вершина, A - точка на биссектрисе, CD - основание.
  108. Если CM || x, то C = (x_C, 8).
  109. Угол CMD.
  110. Из рисунка, C имеет x-координату меньше -3.
  111. Пусть C = (-3 - d, 8), где d > 0. CM = d.
  112. Рассмотрим треугольник AMD.
  113. Вектор MA = (-3, -6).
  114. Вектор MD = (1, -8).
  115. Угол AMD.
  116. Пусть C = (x_C, 8).
  117. Из того, что AM - биссектриса, и CM = MD:
  118. Рассмотрим симметрию относительно AM.
  119. Точка C должна быть такой, что расстояние от нее до M по горизонтали, как и от D до M по горизонтали, если бы CM = MD.
  120. Рассмотрим угол CMD.
  121. Рассмотрим треугольник CMD.
  122. Угол CMD = 2 * arctan(2) (приближенно).
  123. Рассмотрим тригонометрию в треугольнике CMD.
  124. Из рисунка, C находится левее M.
  125. Если CM || x, то C = (x_C, 8).
  126. Рассмотрим симметрию.
  127. Расстояние от M до A по x: 3. По y: 6.
  128. Если C = (x_C, 8), то CM = |x_C + 3|.
  129. Если D = (-2, 0), то MD = sqrt((1)^2 + (-8)^2) = sqrt(65).
  130. CM = MD ⇒ |x_C + 3| = sqrt(65).
  131. x_C + 3 = ± sqrt(65).
  132. x_C = -3 ± sqrt(65).
  133. Из рисунка, C левее M, значит x_C < -3.
  134. x_C = -3 - sqrt(65).
  135. Координаты C: (-3 - sqrt(65), 8).

(7) (1) Доказательство подобия ΔCMD ~ ΔEMF:

  1. Углы:
    • Угол CMD = Угол EMF (вертикальные углы).
  2. Соотношение сторон:
    • E – середина CM, следовательно, EM = CM / 2.
    • F – середина DM, следовательно, MF = DM / 2.
  3. Пропорциональность сторон:
    • EM / CM = 1/2
    • MF / DM = 1/2
    • Следовательно, EM / CM = MF / DM.
  4. Признак подобия по двум сторонам и углу между ними: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
  5. Вывод: Треугольники CMD и EMF подобны по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).

    6. (2) Вычисление отношения площади треугольника CMD к площади треугольника EMF:

    1. Отношение площадей подобных треугольников: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
    2. Коэффициент подобия: Коэффициент подобия из ΔEMF к ΔCMD равен EM/CM = MF/DM = 1/2.
    3. Отношение площадей: Площадь(EMF) / Площадь(CMD) = (1/2)^2 = 1/4.
    4. Искомое отношение: Площадь(CMD) / Площадь(EMF) = 1 / (1/4) = 4.

    Ответ:

    • (א) Треугольник CMD равнобедренный, так как AM является высотой и биссектрисой.
    • (2) Координаты точки B: (0, 14). Координаты точки A: (-6, 2).
    • (2) Координаты точки C: (-3 - √65, 8).
    • (7) (1) ΔCMD ~ ΔEMF по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
    • (7) (2) Отношение площади треугольника CMD к площади треугольника EMF равно 4.
ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю