Отрезок AB = 40 касается окружности радиуса 75 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.

Решение:

Задана окружность с центром в точке O и радиусом \( r = 75 \). Отрезок AB касается окружности в точке B, значит, AB перпендикулярен радиусу OB. Таким образом, \( \angle ABO = 90^{\circ} \).

Длина отрезка AB равна 40. Радиус окружности OB равен 75.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO. По теореме Пифагора найдём длину гипотенузы AO:

\[ AO^2 = AB^2 + OB^2 \]\[ AO^2 = 40^2 + 75^2 \]\[ AO^2 = 1600 + 5625 \]\[ AO^2 = 7225 \]\[ AO = \sqrt{7225} \]\[ AO = 85 \]

Окружность пересекает отрезок AO в точке D. OD — это радиус окружности, так как точка D лежит на окружности, а O — её центр. Следовательно, \( OD = 75 \).

Нам нужно найти длину отрезка AD. Точка D лежит на отрезке AO, поэтому:

\[ AO = AD + OD \]\[ 85 = AD + 75 \]\[ AD = 85 - 75 \]\[ AD = 10 \]

Ответ: AD = 10.