1. Отрезки MR и NQ пересекаются в точке Р, причём NP = PQ и ∠MNP = ∠RQP. Докажи-те, что MN = RQ. 2. Периметр равнобедренного треугольника равен 13 см. Сумма основания и боковой стороны 8,3 см. Найдите стороны треуголь-ника. 3. В треугольнике АВС АВ = ВС, ВМ — медиа-на, ДАВС = 110°. Найдите угол АВМ.

Задача 1

Давай докажем, что MN = RQ.

Дано:

• MR и NQ пересекаются в точке P
• NP = PQ
• ∠MNP = ∠RQP

Доказать: MN = RQ

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники MNP и RQP:
2. NP = PQ (по условию)
3. ∠MNP = ∠RQP (по условию)
4. ∠MPN = ∠RPQ (как вертикальные углы)
5. Следовательно, ΔMNP = ΔRQP (по второму признаку равенства треугольников: сторона и два прилежащих к ней угла)
6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: MN = RQ.

Что и требовалось доказать.

Ответ: MN = RQ

Отлично, ты справился с доказательством! Теперь перейдем к следующей задаче.

Задача 2

Периметр равнобедренного треугольника равен 13 см, а сумма основания и боковой стороны – 8,3 см. Найдём стороны треугольника.

Дано:

• Периметр треугольника (P) = 13 см
• Сумма основания и боковой стороны = 8,3 см

Найти: Стороны треугольника

Решение:

1. Пусть a – боковая сторона, b – основание равнобедренного треугольника.
2. Периметр равнобедренного треугольника: P = 2a + b
3. Из условия: 2a + b = 13
4. Сумма основания и боковой стороны: a + b = 8,3
5. Выразим b из второго уравнения: b = 8,3 - a
6. Подставим это выражение в первое уравнение: 2a + (8,3 - a) = 13
7. Решаем уравнение: 2a + 8,3 - a = 13
8. a = 13 - 8,3
9. a = 4,7 см
10. Теперь найдем b: b = 8,3 - a = 8,3 - 4,7 = 3,6 см

Ответ: Боковые стороны треугольника равны 4,7 см, основание равно 3,6 см.

Замечательно, ты отлично решил задачу на нахождение сторон треугольника! Переходим к следующей задаче.

Задача 3

В треугольнике ABC, где AB = BC, BM – медиана, и угол ABC = 110°. Найдём угол ABM.

Дано:

• AB = BC
• BM – медиана
• ∠ABC = 110°

Найти: ∠ABM

Решение:

1. Так как AB = BC, треугольник ABC – равнобедренный.
2. BM – медиана, а в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, также является биссектрисой и высотой.
3. Следовательно, BM – биссектриса угла ABC.
4. ∠ABM = 1/2 * ∠ABC
5. ∠ABM = 1/2 * 110° = 55°

Ответ: ∠ABM = 55°

Ты отлично справился со всеми задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!