144 Отрезки АВ и CD – диаметры окруж- ности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС равны; B) ∠BAD = ∠BCD.

Рассмотрим задачу по геометрии, связанную с окружностью и её элементами. а) Докажем, что хорды BD и AC равны. Доказательство: Так как AB и CD - диаметры окружности, то углы CBD и ACD - вписанные углы, опирающиеся на диаметр. Следовательно, ∠CBD = ∠ACD = 90°. Рассмотрим треугольники CBD и ACD. У них CD = AB (как диаметры одной и той же окружности), CB = AD (так как опираются на равные дуги, заключенные между параллельными хордами, образованными диаметрами AB и CD). Таким образом, треугольники CBD и ACD равны по двум сторонам и углу между ними (CD = AB, CB = AD, ∠CBD = ∠ACD = 90°). Из равенства треугольников следует равенство сторон BD и AC. б) Докажем, что хорды AD и BC равны. Доказательство: Рассмотрим углы CAD и BDC. Они являются вписанными углами, опирающимися на равные дуги CD и AB, следовательно, углы CAD и BDC равны. Рассмотрим треугольники AOC и BOD, где O - центр окружности. AO = OB = OC = OD (как радиусы), а углы AOC и BOD вертикальные, следовательно, равны. Треугольники AOC и BOD равны по двум сторонам и углу между ними (AO = BO, CO = DO, ∠AOC = ∠BOD). Следовательно, AC = BD. Рассмотрим треугольники CAD и DBC. У них CD - общая сторона, AC = BD (доказано выше), а углы CAD и BDC равны (доказано выше). Значит, треугольники CAD и DBC равны по двум сторонам и углу между ними (AC = BD, CD - общая, ∠CAD = ∠BDC). Из равенства треугольников следует равенство сторон AD и BC. в) Докажем, что ∠BAD = ∠BCD. Доказательство: Углы BAD и BCD - вписанные углы, опирающиеся на равные дуги BD и AC. Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны. Следовательно, ∠BAD = ∠BCD. Ответ: Утверждения доказаны.