487. Отрезки АВ и АС – соответственно диаметр и хорда окружности с центром О, хорда АС равна радиусу этой окружности. Найдите ∠BAC. 488. Отрезок CD - диаметр окружности с центром О. На окружности от- метили точку Е так, что ∠COE = 90°. Докажите, что СЕ = DE. 489. Чему равен диаметр окружности, если известно, что он на 4 см боль- ше радиуса данной окружности? 490. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что АС || BD. 491. Хорда пересекает диаметр окружности под углом 30° и делит его на отрезки длиной 4 см и 10 см. Найдите расстояние от центра окруж- ности до этой хорды.

487

Отрезки AB и AC — соответственно диаметр и хорда окружности с центром O, хорда AC равна радиусу этой окружности. Найдите ∠BAC.

Логика такая:

• Так как AC = радиусу, то треугольник AOC равносторонний, а значит, ∠AOC = 60°.
• ∠ABC — вписанный угол, опирающийся на дугу AC, поэтому он равен половине центрального угла AOC.

Решение:

• ∠ABC = 1/2 * ∠AOC = 1/2 * 60° = 30°.
• ∠BAC = 90°, так как опирается на диаметр AB.

Ответ: ∠BAC = 30°

488

Отрезок CD — диаметр окружности с центром O. На окружности отметили точку E так, что ∠COE = 90°. Докажите, что CE = DE.

Разбираемся:

• Докажем, что CE = DE.
• Так как ∠COE = 90°, то треугольник COE прямоугольный и равнобедренный (OC = OE как радиусы).
• Значит, CE = OE * √2.
• Аналогично, DE = OE * √2.
• Следовательно, CE = DE.

Что и требовалось доказать.

489

Чему равен диаметр окружности, если известно, что он на 4 см больше радиуса данной окружности?

Смотри, тут всё просто:

• Пусть радиус окружности равен r см.
• Тогда диаметр равен 2r см.
• По условию, диаметр на 4 см больше радиуса, то есть 2r = r + 4.

Решение:

• 2r = r + 4
• r = 4
• Диаметр = 2r = 2 * 4 = 8 см.

Ответ: Диаметр окружности равен 8 см.

490

Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что АС || BD.

Логика такая:

• Так как AB и CD — диаметры, то углы AOC и BOD равны как вертикальные.
• Следовательно, дуги AC и BD равны.
• Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны.
• Значит, углы CAD и BDA равны.
• Поскольку это накрест лежащие углы при прямых AC и BD и секущей AD, то AC || BD.

Что и требовалось доказать.

491

Хорда пересекает диаметр окружности под углом 30° и делит его на отрезки длиной 4 см и 10 см. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.

Разбираемся:

• Пусть хорда пересекает диаметр в точке E.
• Длина диаметра равна 4 + 10 = 14 см.
• Радиус окружности равен 14 / 2 = 7 см.
• Пусть O — центр окружности, тогда OE = |7 - 4| = 3 см.
• Расстояние от центра окружности до хорды можно найти, проведя перпендикуляр из точки O к хорде, назовем эту точку F.
• Треугольник OEF — прямоугольный, угол OEF равен 30°.

Решение:

• OF = OE * cos(30°) = 3 * (√3 / 2) = (3√3) / 2 см.

Ответ: Расстояние от центра окружности до хорды равно (3√3) / 2 см.