Решение:
Мягкий знак (ь) пишется после шипящих в глаголах в неопределённой форме и во 2-м лице единственного числа, а также в некоторых существительных.
- на полковничьей должности – мягкий знак не пишется, так как это прилагательное в родительном падеже женского рода, а не глагол.
- отречься – мягкий знак пишется, это глагол в неопределенной форме после шипящего.
- бакéнщик – мягкий знак не пишется, так как это существительное, образованное от слова «бакен», и после шипящего «к» мягкий знак не ставится.
- учиться всегда пригодится – мягкий знак не пишется, так как это глагол в неопределенной форме, но в данном случае слово «учиться» стоит без ударения и в контексте «всегда пригодится» не требует мягкого знака.
- никогда не поздно исправиться – мягкий знак пишется, это глагол в неопределенной форме после шипящего.
Ответ: b, e