От прямоугольного листа картона длиной 16 см отрезали квадрат, сторона которого равна ширине листа. Площадь оставшегося прямоугольника равна 60 см². Найдите ширину листа картона.

Решение:

1. Пусть ширина листа картона равна \( x \) см.
2. По условию задачи, был отрезан квадрат, сторона которого равна ширине листа, то есть \( x \) см.
3. Длина исходного листа картона равна 16 см.
4. После отрезания квадрата от листа остался прямоугольник. Длина этого прямоугольника равна длине исходного листа минус сторона квадрата: \( 16 - x \) см.
5. Ширина оставшегося прямоугольника равна ширине исходного листа, то есть \( x \) см.
6. Площадь оставшегося прямоугольника равна произведению его длины на ширину: \( (16 - x) \cdot x \) см².
7. По условию задачи, площадь оставшегося прямоугольника равна 60 см². Составляем уравнение: \( (16 - x) x = 60 \)
8. Раскроем скобки: \( 16x - x^2 = 60 \)
9. Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 - 16x + 60 = 0 \)
10. Решим квадратное уравнение, используя дискриминант: \( D = b^2 - 4ac \)
11. \( D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 256 - 240 = 16 \)
12. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня.
13. Найдём корни по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
14. \( x_1 = \frac{16 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{16 + 4}{2} = \frac{20}{2} = 10 \)
15. \( x_2 = \frac{16 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{16 - 4}{2} = \frac{12}{2} = 6 \)
16. Проверим оба корня:
• Если ширина \( x = 10 \) см, то длина оставшегося прямоугольника \( 16 - 10 = 6 \) см. Площадь \( 10 \cdot 6 = 60 \) см². Это соответствует условию.
• Если ширина \( x = 6 \) см, то длина оставшегося прямоугольника \( 16 - 6 = 10 \) см. Площадь \( 6 \cdot 10 = 60 \) см². Это также соответствует условию.
17. Поскольку ширина листа картона не может быть больше его длины (16 см) и при этом является стороной квадрата, который был отрезан, оба значения (6 см и 10 см) являются возможными. Однако, если ширина листа меньше 10 см, то при отрезанном квадрате 10x10, оставшийся кусок будет 6x10. Если ширина листа 10 см, то отрезанный квадрат 10x10, оставшийся кусок будет 6x10. Таким образом, в данном контексте, ширина листа картона может быть как 6 см, так и 10 см.

Ответ: 6 см или 10 см.