От пристани на берегу реки отправился в путь плот. Через 2 ч вдогонку отправилась моторная лодка, которая дошла до следующей пристани и сейчас же повернула обратно, вернулась к первой пристани. К моменту возвращения лодки плот уже проделал путь в 20 км. Найди скорость лодки против течения, если расстояние между пристанями составляет 24 км, а скорость течения реки на этом участке составляет 5 км/ч.

Обозначим скорость лодки в стоячей воде за $$v$$, км/ч. Время, которое плот был в пути, обозначим за $$t$$ ч.

Тогда можно составить следующие уравнения:

1. Плот двигался со скоростью течения реки, то есть 5 км/ч. К моменту возвращения лодки он проделал путь в 20 км: $$5t = 20$$.
2. Лодка вышла на 2 часа позже плота, следовательно, её время в пути на 2 часа меньше: $$t - 2$$.
3. Путь лодки до следующей пристани составляет 24 км, и она плыла по течению, то есть со скоростью $$(v + 5)$$ км/ч. Время, затраченное на этот путь: $$\frac{24}{v + 5}$$.
4. Обратный путь лодки также составляет 24 км, но она плыла против течения, то есть со скоростью $$(v - 5)$$ км/ч. Время, затраченное на этот путь: $$\frac{24}{v - 5}$$.
5. Суммарное время движения лодки равно времени, которое плот был в пути, минус 2 часа: $$\frac{24}{v + 5} + \frac{24}{v - 5} = t - 2$$.

Решим систему уравнений:

Из первого уравнения находим время движения плота: $$t = \frac{20}{5} = 4$$ часа.

Подставим найденное значение $$t$$ во второе уравнение:

$$\frac{24}{v + 5} + \frac{24}{v - 5} = 4 - 2$$

$$\frac{24}{v + 5} + \frac{24}{v - 5} = 2$$

Разделим обе части уравнения на 2:

$$\frac{12}{v + 5} + \frac{12}{v - 5} = 1$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{12(v - 5) + 12(v + 5)}{(v + 5)(v - 5)} = 1$$

$$\frac{12v - 60 + 12v + 60}{v^2 - 25} = 1$$

$$\frac{24v}{v^2 - 25} = 1$$

Умножим обе части уравнения на $$v^2 - 25$$:

$$24v = v^2 - 25$$

Перенесем все члены в одну сторону:

$$v^2 - 24v - 25 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $$D = (-24)^2 - 4 cdot 1 cdot (-25) = 576 + 100 = 676$$.

Тогда корни уравнения:

$$v_1 = \frac{24 + \sqrt{676}}{2} = \frac{24 + 26}{2} = 25$$

$$v_2 = \frac{24 - \sqrt{676}}{2} = \frac{24 - 26}{2} = -1$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то $$v = 25$$ км/ч.

Тогда скорость лодки против течения будет:

$$v - 5 = 25 - 5 = 20$$ км/ч.

Ответ: 20