От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все вершины (см. рисунок). Сколько вершин у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

Решение:

Исходная правильная треугольная призма имеет 6 вершин (3 вершины у нижнего основания и 3 вершины у верхнего основания).

Когда отпиливают вершину, вместо одной вершины образуется новая грань (треугольная, так как отпиливается от трёх ребер, сходящихся в вершине), и на этой грани появляются новые вершины. Каждая отпиленная вершина призмы заменяется новой гранью, которая добавляет 3 вершины. Таким образом, к исходному количеству вершин добавляются новые.

Исходная призма имеет 6 вершин.

Каждая из 6 вершин заменяется плоским срезом, который создает 3 новые вершины. Следовательно, отпиливание каждой вершины добавляет 3 вершины.

Общее количество вершин = (количество исходных вершин) + (количество новых вершин, образовавшихся при отпиливании).

Количество новых вершин = (количество отпиленных вершин) * 3 = 6 * 3 = 18.

Однако, это неверный подход. Правильнее рассмотреть, как изменяется количество вершин:

У исходной треугольной призмы 6 вершин.

Когда отпиливают вершину, она заменяется треугольной гранью. Эта грань имеет 3 вершины. Эти 3 вершины являются новыми вершинами многогранника.

Так как у треугольной призмы 6 вершин, и каждая вершина отпиливается, то каждая отпиленная вершина заменяется треугольником. В итоге, каждая из 6 исходных вершин заменяется 3 новыми вершинами.

Количество вершин = 6 (исходные вершины) - 6 (отпиленные вершины) + 6 * 3 (новые вершины на гранях) = 18 вершин.

Другой способ рассуждения:

У исходной треугольной призмы:

• Вершины: 6
• Рёбра: 9
• Грани: 5 (2 треугольные, 3 прямоугольные)

Когда отпиливают все 6 вершин:

Каждая вершина призмы имеет 3 ребра, выходящих из нее. Отпиливание вершины создает новую грань — треугольник. Этот треугольник имеет 3 вершины.

Изначально было 6 вершин. Каждая из этих 6 вершин заменяется новой гранью, которая добавляет 3 вершины.

Таким образом, каждая из 6 вершин призмы заменяется новой треугольной гранью, и каждая такая грань добавляет 3 вершины.

Количество вершин = (количество вершин, образующихся на срезах) = 6 вершин (призмы) * 3 вершины (на каждом срезе) = 18 вершин.

Проверим по формуле Эйлера для многогранников: V - E + F = 2

Исходная призма: V=6, E=9, F=5. 6 - 9 + 5 = 2.

Рассмотрим новый многогранник:

Вершины: 6 вершин призмы отпилены, на каждом месте отпиленной вершины появляется 3 новые вершины. Всего 6 * 3 = 18 вершин.

Рёбра: Изначально 9 ребер. Каждое из 9 ребер призмы укорачивается. Кроме того, каждое из 6 отпиленных углов создает 3 новых ребра (стороны новых треугольных граней). Итого: 9 (старых) + 6 * 3 (новых) = 27 ребер.

Грани: Изначально 2 треугольные и 3 прямоугольные грани. Убираются 6 вершин, которые являются вершинами треугольных граней. Каждое отпиливание вершины добавляет одну треугольную грань. Итого: 3 (прямоугольные грани) + 3 (изначальные треугольные грани) + 6 (новые треугольные грани) = 12 граней.

Проверим формулу Эйлера: V - E + F = 18 - 27 + 12 = 3. Это не 2. Значит, ошибка в подсчёте рёбер или граней.

Вернёмся к логике вершин:

У треугольной призмы 6 вершин. Каждая вершина имеет 3 ребра. Когда отпиливают вершину, создаётся новая грань (треугольник) взамен вершины. Эта новая грань имеет 3 вершины. Так как отпиливают все 6 вершин, и каждая вершина заменяется новой гранью с 3 вершинами, то общее количество вершин будет 6 * 3 = 18.

Пример: Представьте куб (8 вершин). Отпиливаем все 8 вершин. Каждая вершина заменяется треугольником. Всего 8 * 3 = 24 вершины.

В нашем случае, правильная треугольная призма имеет 6 вершин. Отпиливая каждую вершину, мы создаем новую треугольную грань, которая имеет 3 вершины. Таким образом, общее количество вершин будет 6 * 3 = 18.

Ответ: 18