Освободитесь от знака корня в знаменателе дроби: a) \(\frac{2}{\sqrt{7}}\) б) \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}\) a) \(\frac{4}{\sqrt{11}}\) б) \(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}\)

Решение:

Нужно избавиться от иррациональности в знаменателе дроби.

а) \(\frac{2}{\sqrt{7}}\):

1. Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{7}\):
2. \(\frac{2}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{7}}{7}\)

б) \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}\):

1. Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(\sqrt{2}-1\):
2. \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\)
3. Знаменатель раскроем по формуле разности квадратов: \( (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1 \)
4. Числитель: \( \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 1 = 2 - \sqrt{2} \)
5. Итого: \(\frac{2-\sqrt{2}}{1} = 2-\sqrt{2}\)

а) \(\frac{4}{\sqrt{11}}\):

1. Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{11}\):
2. \(\frac{4}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}} = \frac{4\sqrt{11}}{11}\)

б) \(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}\):

1. Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(\sqrt{5}+1\):
2. \(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1} \cdot \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}\)
3. Знаменатель раскроем по формуле разности квадратов: \( (\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4 \)
4. Числитель: \( \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 1 = 5 + \sqrt{5} \)
5. Итого: \(\frac{5+\sqrt{5}}{4}\)

Ответ: а) \(\frac{2\sqrt{7}}{7}\); б) \(2-\sqrt{2}\); а) \(\frac{4\sqrt{11}}{11}\); б) \(\frac{5+\sqrt{5}}{4}\).