Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 18 см, а диагональ является биссектрисой её острого угла. Вычислите площадь трапеции.

Пусть основания трапеции равны $$a=12$$ см и $$b=18$$ см. Диагональ $$d$$ является биссектрисой острого угла. В равнобокой трапеции боковые стороны равны. Диагональ, являющаяся биссектрисой острого угла, делит противолежащее основание на два отрезка. Так как диагональ является биссектрисой, то она делит угол пополам. В равнобокой трапеции углы при основании равны. Рассмотрим треугольник, образованный боковой стороной, диагональю и меньшим основанием. Углы при диагонали равны (как накрест лежащие и как часть биссектрисы). Следовательно, этот треугольник равнобедренный, и боковая сторона равна меньшему основанию, то есть $$c=12$$ см. Теперь найдем высоту трапеции. Проведем высоту из вершины тупого угла на большее основание. Большее основание делится на отрезки $$x$$, $$a$$, $$x$$. Где $$2x + a = b$$. $$2x = 18 - 12 = 6$$, $$x = 3$$ см. В прямоугольном треугольнике, образованном боковой стороной, высотой и отрезком $$x$$, имеем $$h^2 + x^2 = c^2$$. $$h^2 + 3^2 = 12^2$$. $$h^2 + 9 = 144$$. $$h^2 = 135$$. $$h = \sqrt{135} = 3\sqrt{15}$$ см. Площадь трапеции $$S = \frac{a+b}{2} \times h = \frac{12+18}{2} \times 3\sqrt{15} = \frac{30}{2} \times 3\sqrt{15} = 15 \times 3\sqrt{15} = 45\sqrt{15}$$ см$$^2$$.