Основания равнобедренной трапеции равны 12 и 20. Косинус острого угла трапеции равен \(\frac{2}{3}\). Найдите боковую сторону.

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, где AD = 20 и BC = 12. Проведем высоты BH и CF к основанию AD. Так как трапеция равнобедренная, то AH = FD. 1. Найдем длину AH. Так как AD = AH + HF + FD и HF = BC = 12, то AD = AH + 12 + FD. Поскольку AH = FD, получаем 20 = 2AH + 12, откуда 2AH = 8, и AH = 4. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Известно, что \(\cos(\angle BAH) = \frac{AH}{AB} = \frac{2}{3}\). Таким образом, \(\frac{4}{AB} = \frac{2}{3}\). Решаем это уравнение для AB: \(2AB = 12\) \(AB = 6\). Следовательно, боковая сторона трапеции равна 6. **Ответ: 6**