Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 9 см и 12 см. Площадь большей боковой грани равна 120 см². Вычисли высоту призмы.

Решение:

1. Найдем гипотенузу основания:

   По теореме Пифагора: $$c^2 = a^2 + b^2$$, где $$a=9$$ см, $$b=12$$ см.

   \[ c^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \]

   \[ c = \sqrt{225} = 15 \] см.

2. Определим большую боковую грань:

   Боковые грани призмы — это прямоугольники. Стороны этих прямоугольников — высота призмы ($$h$$) и стороны основания ($$a=9$$ см, $$b=12$$ см, $$c=15$$ см).

   Площади боковых граней равны:

   • $$S_1 = a \times h = 9h$$
   • $$S_2 = b \times h = 12h$$
   • $$S_3 = c \times h = 15h$$

   Так как $$15 > 12 > 9$$, то большая боковая грань имеет площадь $$S_3 = 15h$$.

3. Вычислим высоту призмы:

   Из условия известно, что площадь большей боковой грани равна 120 см².

   \[ 15h = 120 \]

   \[ h = \frac{120}{15} = 8 \] см.

Ответ: высота призмы равна 8 см.