3. Основанием прямой призмы ABC A₁B₁C₁ является равнобедренный Δ ABC, в котором AB = BC = 5 cm, AC = 8см. Боковое ребро призмы равно 12 см. Найдите угол между прямыми AB₁ и BC₁. Решение:

Давай разберем эту задачу по геометрии. Нам нужно найти угол между прямыми AB₁ и BC₁ в прямой призме ABC A₁B₁C₁. 1. Определим основные элементы: основание призмы — равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC = 5 см, AC = 8 см. Боковое ребро призмы, например AA₁ = 12 см. 2. Построим чертеж (мысленно или на бумаге), чтобы лучше представить ситуацию. Отметим точки A, B, C в основании и соответствующие им точки A₁, B₁, C₁ в верхнем основании призмы. 3. Рассмотрим векторы AB₁ и BC₁. Угол между прямыми AB₁ и BC₁ будет равен углу между этими векторами. Обозначим этот угол как φ. 4. Выразим векторы AB₁ и BC₁ через известные векторы. Для этого введем систему координат. Пусть A — начало координат, ось x направлена вдоль AC, а ось z — вдоль AA₁. * Тогда координаты точек будут следующими: * A (0, 0, 0) * B (4, y, 0), где y найдем из треугольника ABC * C (8, 0, 0) * A₁ (0, 0, 12) * B₁ (4, y, 12) * C₁ (8, 0, 12) 5. Найдем координату y точки B. Так как треугольник ABC равнобедренный, высота, опущенная из B на AC, делит AC пополам. Обозначим эту точку как H. Тогда AH = HC = 4 см. В прямоугольном треугольнике ABH: \[BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3\] * Таким образом, B (4, 3, 0) и B₁ (4, 3, 12). 6. Найдем координаты векторов AB₁ и BC₁: \[\vec{AB_1} = B_1 - A = (4, 3, 12) - (0, 0, 0) = (4, 3, 12)\] \[\vec{BC_1} = C_1 - B = (8, 0, 12) - (4, 3, 0) = (4, -3, 12)\] 7. Найдем косинус угла φ между векторами AB₁ и BC₁, используя формулу скалярного произведения: \[cos(φ) = \frac{\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1}}{|\vec{AB_1}| \cdot |\vec{BC_1}|}\] * Скалярное произведение: \[\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1} = (4 \cdot 4) + (3 \cdot (-3)) + (12 \cdot 12) = 16 - 9 + 144 = 151\] * Длины векторов: \[|\vec{AB_1}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13\] \[|\vec{BC_1}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13\] 8. Подставим значения в формулу косинуса угла: \[cos(φ) = \frac{151}{13 \cdot 13} = \frac{151}{169}\] 9. Найдем угол φ: \[φ = arccos(\frac{151}{169})\]

Ответ: arccos(151/169)