Основанием правильной треугольной призмы \(ABC A_1 B_1 C_1\) является треугольник \(ABC\), \(AB = 8\), \(AA_1 = \sqrt{13}\). Точка \(M\) – середина ребра \(A_1B_1\). Найдите площадь сечения призмы плоскостью \(BCM\).

Решение:

Давай разберем эту задачу по геометрии вместе! Нам нужно найти площадь сечения призмы плоскостью \(BCM\).

1. Сначала определим, что из себя представляет сечение.
2. Поскольку \(M\) – середина ребра \(A_1B_1\), а плоскость проходит через точки \(B\), \(C\) и \(M\), то сечение – это равнобедренный треугольник \(BCM\).
3. Теперь найдем стороны этого треугольника.
4. Основание \(BC\) – это сторона правильного треугольника в основании призмы, значит, \(BC = AB = 8\).
5. Боковые стороны \(BM\) и \(CM\) равны, так как треугольник \(A_1B_1C_1\) правильный и \(M\) – середина \(A_1B_1\).
6. Чтобы найти \(BM\), рассмотрим прямоугольный треугольник \(BB_1M\). В нем \(BB_1 = AA_1 = \sqrt{13}\), а \(B_1M = \frac{1}{2} A_1B_1 = \frac{1}{2} AB = 4\).
7. По теореме Пифагора, \(BM = \sqrt{BB_1^2 + B_1M^2} = \sqrt{(\sqrt{13})^2 + 4^2} = \sqrt{13 + 16} = \sqrt{29}\).
8. Итак, у нас есть равнобедренный треугольник \(BCM\) со сторонами \(BC = 8\) и \(BM = CM = \sqrt{29}\).
9. Для нахождения площади треугольника \(BCM\) проведем высоту \(MH\) к основанию \(BC\). Так как треугольник равнобедренный, высота является и медианой, значит, \(BH = HC = \frac{1}{2} BC = 4\).
10. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(BHM\). В нем \(BM = \sqrt{29}\) и \(BH = 4\). По теореме Пифагора, \(MH = \sqrt{BM^2 - BH^2} = \sqrt{(\sqrt{29})^2 - 4^2} = \sqrt{29 - 16} = \sqrt{13}\).
11. Площадь треугольника \(BCM\) равна \(\frac{1}{2} \cdot BC \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \sqrt{13} = 4\sqrt{13}\).

Ответ: \(4\sqrt{13}\)

Отлично! Ты справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!