Основание прямой призмы — равнобедренный треугольник, в котором высота, проведенная к основанию, равна 8 см. Высота призмы 12 см. Найдите полную поверхность призмы, если боковая грань, содержащая основание треугольника — квадрат.

Решение:

Дано:
Призма прямая.
Основание — равнобедренный треугольник.
Высота треугольника \( h_{осн} = 8 \) см.
Высота призмы \( H = 12 \) см.
Боковая грань, содержащая основание треугольника — квадрат.

Найти: Полную поверхность призмы \( S_{полн} \).

1. Так как боковая грань, содержащая основание треугольника, является квадратом, то сторона основания призмы равна высоте призмы. Следовательно, основание треугольника равно \( a = 12 \) см.
2. Найдем площадь основания призмы \( S_{осн} \). Основание — равнобедренный треугольник. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту: \( S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 12 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 48 \text{ см}^2 \).
3. Площадь боковой поверхности призмы \( S_{бок} \) равна произведению периметра основания \( P_{осн} \) на высоту призмы \( H \). Найдем периметр основания. Нам нужно найти боковую сторону равнобедренного треугольника. Пусть основание равнобедренного треугольника равно \( a = 12 \) см, а высота, проведенная к основанию, \( h_{осн} = 8 \) см. Высота делит основание пополам. Получаем прямоугольный треугольник с катетами \( 8 \) см и \( \frac{12}{2} = 6 \) см. Найдем гипотенузу (боковую сторону равнобедренного треугольника) по теореме Пифагора: \( b^2 = h_{осн}^2 + (\frac{a}{2})^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \). Тогда \( b = \sqrt{100} = 10 \) см.
4. Периметр основания равен: \( P_{осн} = a + 2b = 12 \text{ см} + 2 \cdot 10 \text{ см} = 12 + 20 = 32 \) см.
5. Площадь боковой поверхности призмы: \( S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 32 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 384 \text{ см}^2 \).
6. Полная поверхность призмы равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности: \( S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 48 \text{ см}^2 + 384 \text{ см}^2 = 96 \text{ см}^2 + 384 \text{ см}^2 = 480 \text{ см}^2 \).

Ответ: 480 см².