Основание пирамиды MABCD - прямоугольник ABCD, периметр которого равен 64. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13, MH 1 AB; MH = 5. Найдите высоту пирамиды. 1) 3 2) 3√2 3) 2√3 4) 2

Ответ: 4) 2

1. Обозначим стороны прямоугольника ABCD как AB = x и BC = y. Периметр прямоугольника равен 2(x + y), значит: \[2(x + y) = 64\] \[x + y = 32\]
2. Так как MH ⊥ AB и H - середина AB, то AH = AB/2 = x/2. Треугольник MHA - прямоугольный, MH = 5, MA = 13. По теореме Пифагора: \[MA^2 = MH^2 + AH^2\] \[13^2 = 5^2 + (x/2)^2\] \[169 = 25 + x^2/4\] \[x^2/4 = 144\] \[x^2 = 576\] \[x = 24\]
3. Теперь найдем y: \[x + y = 32\] \[24 + y = 32\] \[y = 8\]
4. Диагонали прямоугольника ABCD равны и делятся точкой пересечения O пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник MOH, MO - высота пирамиды. \[AO = \frac{1}{2}AC\] \(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}\) \(AC = \sqrt{24^2 + 8^2} = \sqrt{576 + 64} = \sqrt{640} = 8\sqrt{10}\) \(AO = \frac{1}{2} 8\sqrt{10} = 4\sqrt{10}\)
5. Теперь найдем высоту MO: \[MO = \sqrt{MA^2 - AO^2}\] \[MO = \sqrt{13^2 - (4\sqrt{10})^2}\] \[MO = \sqrt{169 - 160} = \sqrt{9} = 3\]

Ответ: 1) 3