11. Определённый интеграл, геометрический смысл Вычисли интеграл, используя геометрический смысл определённого интеграла: $$\int_{-6}^{3} |x + 2| dx$$.

Ответ: 22.5

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Определим функцию под интегралом.

\[ f(x) = |x + 2| \]

• Шаг 2: Найдем нули функции под знаком модуля.

\[ x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \]

• Шаг 3: Разобьем интеграл на два интеграла в зависимости от знака выражения под модулем.

\[ \int_{-6}^{3} |x + 2| dx = \int_{-6}^{-2} -(x + 2) dx + \int_{-2}^{3} (x + 2) dx \]

• Шаг 4: Вычислим каждый интеграл как площадь соответствующей фигуры.

Первый интеграл соответствует площади треугольника с основанием от -6 до -2 и высотой равной |-6 + 2| = 4. Площадь первого треугольника: \[ S_1 = \frac{1}{2} \cdot (|-2 - (-6)|) \cdot (|-6 + 2|) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8 \] Второй интеграл соответствует площади треугольника с основанием от -2 до 3 и высотой равной |3 + 2| = 5. Площадь второго треугольника: \[ S_2 = \frac{1}{2} \cdot (3 - (-2)) \cdot (3 + 2) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12.5 \]

• Шаг 5: Сложим площади двух треугольников.

\[ \int_{-6}^{3} |x + 2| dx = S_1 + S_2 = 8 + 12.5 = 20.5 \]

Ответ: 20.5