Определите знак производной в точке хо = 0 для f(x) = \(\frac{2x-1}{3x+2}\)

Решение:

Для определения знака производной функции \( f(x) = \frac{2x-1}{3x+2} \) в точке \( x_0 = 0 \), сначала найдём производную функции.

Используем правило дифференцирования частного: \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Здесь \( u = 2x-1 \) и \( v = 3x+2 \).

Найдём производные числителя и знаменателя:

• \( u' = (2x-1)' = 2 \)
• \( v' = (3x+2)' = 3 \)

Теперь подставим в формулу производной частного:

\[ f'(x) = \frac{2(3x+2) - (2x-1)3}{(3x+2)^2} \]\[ f'(x) = \frac{6x + 4 - (6x - 3)}{(3x+2)^2} \]\[ f'(x) = \frac{6x + 4 - 6x + 3}{(3x+2)^2} \]\[ f'(x) = \frac{7}{(3x+2)^2} \]

Теперь найдём значение производной в точке \( x_0 = 0 \):

\[ f'(0) = \frac{7}{(3 \cdot 0 + 2)^2} = \frac{7}{(0 + 2)^2} = \frac{7}{2^2} = \frac{7}{4} \]

Так как \( \frac{7}{4} > 0 \), знак производной в точке \( x_0 = 0 \) — положительный.

Ответ: знак производной в точке \( x_0 = 0 \) — положительный.