Определите значения параметра $$m$$, при которых прямая $$y=m$$ имеет с графиком функции $$y=\begin{cases} x-2.5, & x<2 \ -x+1.5, & 2 \le x \le 3 \ x-5, & x>3 \end{cases}$$ ровно одну общую точку.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

Построим график функции, анализируя каждый интервал:

• При $$x < 2$$: $$y = x - 2.5$$. Это прямая. При $$x=2$$, $$y = 2 - 2.5 = -0.5$$. Точка $$(2, -0.5)$$ не включается. При $$x=0$$, $$y=-2.5$$.
• При $$2 ", " \le x \le 3$$: $$y = -x + 1.5$$. Это прямая. При $$x=2$$, $$y = -2 + 1.5 = -0.5$$. Точка $$(2, -0.5)$$ включается. При $$x=3$$, $$y = -3 + 1.5 = -1.5$$. Точка $$(3, -1.5)$$ включается.
• При $$x > 3$$: $$y = x - 5$$. Это прямая. При $$x=3$$, $$y = 3 - 5 = -2$$. Точка $$(3, -2)$$ не включается. При $$x=5$$, $$y=0$$.

На основании построенного графика, прямая $$y=m$$ будет иметь ровно одну общую точку с графиком функции в следующих случаях:

• Когда $$y=m$$ проходит через вершину графика, где меняется направление. Это происходит в точке $$(2, -0.5)$$. Таким образом, $$m = -0.5$$.
• Когда $$y=m$$ проходит через граничные точки, которые не являются вершинами.
• При $$x o 2^-$$ (слева от 2), $$y o -0.5$$.
• При $$x = 2$$, $$y = -0.5$$.
• При $$x o 2^+$$ (справа от 2), $$y o -0.5$$.
• При $$x o 3^-$$ (слева от 3), $$y o -1.5$$.
• При $$x = 3$$, $$y = -1.5$$.
• При $$x o 3^+$$ (справа от 3), $$y o -2$$.

Рассмотрим, где горизонтальная линия $$y=m$$ пересекает график ровно один раз:

• Если $$m > -0.5$$, прямая $$y=m$$ пересекает только первую ветку ($$y=x-2.5$$) один раз.
• Если $$m < -2$$, прямая $$y=m$$ пересекает только третью ветку ($$y=x-5$$) один раз.
• При $$m = -1.5$$, прямая пересекает вторую ветку в точке $$(3, -1.5)$$ и третью ветку. Это две точки.
• При $$m = -2$$, прямая пересекает третью ветку в точке $$(3, -2)$$ и вторую ветку. Это две точки.

Таким образом, прямая $$y=m$$ имеет ровно одну общую точку с графиком, когда:

• $$m > -0.5$$ (пересекает только первую ветвь)
• $$m < -2$$ (пересекает только третью ветвь)
• $$m = -0.5$$ (вершина графика)
• $$m = -2$$ (точка на третьей ветви, но значение функции на второй ветви при $$x=3$$ равно $$-1.5$$, поэтому $$y=m$$ не пересекается с двумя ветвями в этой точке, а только с одной)

Проверим границы:

• При $$m = -0.5$$, прямая $$y=-0.5$$ проходит через точку $$(2, -0.5)$$, которая является верхней точкой первой ветви и левой точкой второй ветви. Также она пересекает вторую ветвь в точке $$(2, -0.5)$$. Это одна точка.
• При $$m = -1.5$$, прямая $$y=-1.5$$ проходит через точку $$(3, -1.5)$$ (конец второй ветви) и пересекает третью ветвь $$y=x-5$$ при $$x=3.5$$. Это две точки.
• При $$m = -2$$, прямая $$y=-2$$ проходит через точку $$(3, -2)$$ (начало третьей ветви, не включая). Также она пересекает вторую ветвь $$y=-x+1.5$$ при $$-x+1.5=-2$$, откуда $$-x=-3.5$$, $$x=3.5$$. Эта точка не входит во второй интервал. При $$x=3$$ на второй ветви $$y=-1.5$$, а на третьей $$y=-2$$. Следовательно, при $$m=-2$$ прямая пересекает третью ветвь в точке $$(3,-2)$$.

Чтобы было ровно одна общая точка, $$m$$ может быть больше верхнего значения первой ветви или меньше нижнего значения третьей ветви. Также, $$m$$ может быть равно значению в