Определите ранг матрицы: A = | 1 0 -1 1 | | 0 0 -1 1 | | 0 1 1 0 | | 0 0 1 -1 |

Решение:

Для нахождения ранга матрицы приведём её к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк.

Исходная матрица:

\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1
\end{pmatrix}
\]

Поменяем местами вторую и третью строки, чтобы получить ведущий элемент 1 во второй строке:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & -1
\end{pmatrix}
\]

Прибавим третью строку к четвертой строке:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]

Матрица приведена к ступенчатому виду. Число ненулевых строк равно 3.

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в её ступенчатом виде.

Таким образом, ранг матрицы A равен 3.

Ответ: r(A)=3