Определите, при каком значении x график этой функции пересекается с прямой y = 1.

Решение:

Дана функция \( y = \frac{2x^2 - 7x + 6}{x^2 - 4} \). Нам нужно найти значение \( x \), при котором график этой функции пересекается с прямой \( y = 1 \).

1. Приравниваем функцию к 1: \( \frac{2x^2 - 7x + 6}{x^2 - 4} = 1 \).
2. Умножаем обе части уравнения на \( x^2 - 4 \), предполагая, что \( x^2 - 4 \neq 0 \), то есть \( x \neq 2 \) и \( x \neq -2 \).
3. \( 2x^2 - 7x + 6 = x^2 - 4 \)
4. Переносим все члены уравнения в одну сторону:
5. \( 2x^2 - x^2 - 7x + 6 + 4 = 0 \)
6. \( x^2 - 7x + 10 = 0 \)
7. Решаем квадратное уравнение. Найдём дискриминант:
8. \( D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \)
9. Находим корни уравнения:
10. \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)
11. \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
12. Проверяем полученные значения \( x \) на допустимость. Мы получили \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = 2 \).
13. Вспомним, что \( x \neq 2 \) и \( x \neq -2 \). Следовательно, \( x_2 = 2 \) не является решением, так как знаменатель обращается в ноль.
14. Единственное допустимое значение \( x \) — это \( x = 5 \).

Ответ: 5.