Определите, при каких значениях к прямая у = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

1. Условие пересечения:
   Нам нужно найти значения k, при которых уравнение $$- \frac{1}{x^2 + 1} = kx$$ имеет ровно одно решение (кроме точки $$x=2$$, которая выколота).
2. Преобразуем уравнение:
   \[ -1 = kx(x^2 + 1) \]
   \[ -1 = kx^3 + kx \]
   \[ kx^3 + kx + 1 = 0 \]
3. Анализ случая k=0:
   Если $$k = 0$$, то уравнение примет вид $$0x^3 + 0x + 1 = 0$$, то есть $$1 = 0$$. Это уравнение не имеет решений. Следовательно, $$k
   e 0$$.
4. Анализ случая $$x=2$$:
   Подставим $$x=2$$ в уравнение $$kx^3 + kx + 1 = 0$$:
   \[ k(2)^3 + k(2) + 1 = 0 \]
   \[ 8k + 2k + 1 = 0 \]
   \[ 10k = -1 \]
   \[ k = -\frac{1}{10} \]
   Если $$k = -0.1$$, то прямая $$y = -0.1x$$ проходит через выколотую точку $$(2, -0.2)$$. Это означает, что при $$k = -0.1$$ одна из точек пересечения графика и прямой является выколотой.
5. Анализ случая $$x
   e 2$$:
   Для того чтобы прямая $$y=kx$$ имела ровно одну общую точку с графиком $$y = -\frac{1}{x^2 + 1}$$ (и эта точка не была бы выколотой), нужно, чтобы кубическое уравнение $$kx^3 + kx + 1 = 0$$ имело одно решение, отличное от $$x=2$$.
6. Исследование кубического уравнения:
   Рассмотрим функцию $$f(x) = kx^3 + kx + 1$$. Ее производная $$f'(x) = 3kx^2 + k = k(3x^2 + 1)$$.
   Если $$k > 0$$, то $$f'(x) > 0$$ (так как $$3x^2+1 > 0$$), функция $$f(x)$$ возрастает, и кубическое уравнение имеет ровно один корень.
   Если $$k < 0$$, то $$f'(x) < 0$$, функция $$f(x)$$ убывает, и кубическое уравнение также имеет ровно один корень.
   Таким образом, кубическое уравнение $$kx^3 + kx + 1 = 0$$ всегда имеет ровно один действительный корень при любом $$k e 0$$.
7. Совмещение условий:
   Мы знаем, что при $$k = -0.1$$ прямая проходит через выколотую точку. В этом случае, кроме выколотой точки, у нас нет других точек пересечения. Значит, при $$k = -0.1$$ имеется ровно одна точка пересечения (выколотая).
8. Общая точка:
   Прямая $$y=kx$$ проходит через начало координат $$(0,0)$$. График функции $$y = -\frac{1}{x^2+1}$$ всегда ниже оси $$x$$, его значения лежат в интервале $$[-1, 0)$$.
   Если $$k > 0$$, прямая $$y=kx$$ будет пересекать график один раз в области $$x < 0$$.
   Если $$k < 0$$, прямая $$y=kx$$ будет пересекать график один раз в области $$x > 0$$.
9. Рассмотрим случай, когда выколотая точка является единственной точкой пересечения.
   Это происходит, когда $$k = -0.1$$.
10. Рассмотрим случай, когда кроме выколотой точки, есть еще одна точка пересечения.
    Это будет противоречить тому, что кубическое уравнение имеет только один корень.
11. Исключение $$x=0$$:
    Если $$x=0$$, то $$k(0)^3 + k(0) + 1 = 0 \rightarrow 1=0$$, что невозможно. Значит, $$x=0$$ не является решением.
12. Единственная точка пересечения:
    Мы нашли, что при $$k = -0.1$$, прямая $$y = -0.1x$$ проходит через выколотую точку $$(2, -0.2)$$. Поскольку кубическое уравнение $$kx^3 + kx + 1 = 0$$ имеет только один корень при $$k e 0$$, и этим корнем является $$x=2$$ при $$k=-0.1$$, то это и есть единственное решение.
13. Отдельный случай:
    Возможен случай, когда прямая $$y=kx$$ проходит через начало координат $$(0,0)$$ и имеет только одну точку касания или пересечения с графиком, причем эта точка не является выколотой. Однако, график $$y = -\frac{1}{x^2+1}$$ симметричен относительно оси Y, а прямая $$y=kx$$ проходит через начало координат. Для того чтобы было ровно одно пересечение, прямая должна проходить через выколотую точку.
14. Перепроверим:
    Если $$k = -0.1$$, то уравнение $$kx^3 + kx + 1 = 0$$ становится $$-0.1x^3 - 0.1x + 1 = 0$$, или $$x^3 + x - 10 = 0$$. Мы знаем, что $$x=2$$ является корнем этого уравнения: $$2^3 + 2 - 10 = 8 + 2 - 10 = 0$$.
    Так как кубическое уравнение имеет ровно один корень, то $$x=2$$ - единственный корень.
    Значит, при $$k = -0.1$$, прямая $$y = -0.1x$$ пересекает график в единственной точке $$(2, -0.2)$$, которая является выколотой.

Ответ: $$k = -0.1$$