Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика1) Определите по рисунку наибольшую температуру воздуха 22 января. 2) Чему равна разница между наибольшей и наименьшей температурой воздуха 24 янва- ря? 15. Тип 15 № 4205 i Из пункта А в пункт В одновременно вы- ехали два автомобиля. Первый проехал с по- стоянной скоростью весь путь. Второй про- ехал первую половину пути со скоростью 30 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, большей скорости первого на 9 км/ ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч. 16. Тип 16 № 8246 i Правильный игральный кубик бросают два раза. Найдите вероятность того, что числа выпавших очков отличаются не больше чем на 3. 17. Тип 17 № 7269 i Выполните действия с радикалами (√6-3√3+5√2-√8) √24+ +18√2-12√3. 18. Тип 18 № 3813 i В прямоугольной трапеции ABCD с основа- ниями AD и ВС диагональ BD равна 32, а угол А равен 45°. Найдите большую боковую сторо- ну, если меньшее основание трапеции равно 8√15.
Ответ:
Тип 15 № 4205
Пусть x км/ч – скорость первого автомобиля.
Тогда скорость второго автомобиля на второй половине пути x + 9 км/ч.
Пусть S – расстояние между пунктами А и В.
Время, которое первый автомобиль затратил на весь путь: S/x
Время, которое второй автомобиль затратил на первую половину пути: (S/2) / 30 = S/60
Время, которое второй автомобиль затратил на вторую половину пути: (S/2) / (x+9) = S / (2(x+9))
Так как автомобили прибыли в пункт В одновременно, то можем составить уравнение:
\[\frac{S}{x} = \frac{S}{60} + \frac{S}{2(x+9)}\]Разделим обе части уравнения на S (S ≠ 0):
\[\frac{1}{x} = \frac{1}{60} + \frac{1}{2(x+9)}\]Приведём к общему знаменателю:
\[\frac{1}{x} = \frac{2(x+9) + 60}{120(x+9)}\] \[\frac{1}{x} = \frac{2x + 18 + 60}{120(x+9)}\] \[\frac{1}{x} = \frac{2x + 78}{120(x+9)}\]Перекрестное умножение:
\[120(x+9) = x(2x+78)\] \[120x + 1080 = 2x^2 + 78x\]Приведём к стандартному виду квадратного уравнения:
\[2x^2 + 78x - 120x - 1080 = 0\] \[2x^2 - 42x - 1080 = 0\]Разделим обе части уравнения на 2:
\[x^2 - 21x - 540 = 0\]Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
D = b² - 4ac
D = (-21)² - 4 * 1 * (-540) = 441 + 2160 = 2601
\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 + \sqrt{2601}}{2} = \frac{21 + 51}{2} = \frac{72}{2} = 36\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 - \sqrt{2601}}{2} = \frac{21 - 51}{2} = \frac{-30}{2} = -15\]Так как скорость не может быть отрицательной, то x = 36 км/ч.
Ответ: 36 км/ч
16. Тип 16 № 8246
Всего при бросании кубика два раза может выпасть 36 различных комбинаций (6 вариантов первого броска и 6 вариантов второго броска, то есть 6 * 6 = 36).
Теперь определим, какие комбинации удовлетворяют условию, что разница между выпавшими очками не больше 3:
- Разница 0: (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) — 6 вариантов
- Разница 1: (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 5), (5, 4), (5, 6), (6, 5) — 10 вариантов
- Разница 2: (1, 3), (3, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 6), (6, 4) — 8 вариантов
- Разница 3: (1, 4), (4, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 6), (6, 3) — 6 вариантов
Итого благоприятных исходов: 6 + 10 + 8 + 6 = 30
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
\[P = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}\]Ответ: 5/6
17. Тип 17 № 7269
Выполним действия с радикалами:
\[(\frac{1}{2}\sqrt{6} - 3\sqrt{3} + 5\sqrt{2} - \sqrt{8}) \sqrt{24} + 18\sqrt{2} - 12\sqrt{3}\]Сначала упростим \(\sqrt{8}\) и \(\sqrt{24}\):
\[\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}\] \[\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}\]Подставим упрощенные значения:
\[(\frac{1}{2}\sqrt{6} - 3\sqrt{3} + 5\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) \cdot 2\sqrt{6} + 18\sqrt{2} - 12\sqrt{3}\]Упростим выражение в скобках:
\[(\frac{1}{2}\sqrt{6} - 3\sqrt{3} + 3\sqrt{2}) \cdot 2\sqrt{6} + 18\sqrt{2} - 12\sqrt{3}\]Раскроем скобки:
\[\frac{1}{2}\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{6} - 3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6} + 3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{6} + 18\sqrt{2} - 12\sqrt{3}\] \[6 - 6\sqrt{18} + 6\sqrt{12} + 18\sqrt{2} - 12\sqrt{3}\]Упростим \(\sqrt{18}\) и \(\sqrt{12}\):
\[\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}\] \[\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\]Подставим упрощенные значения:
\[6 - 6 \cdot 3\sqrt{2} + 6 \cdot 2\sqrt{3} + 18\sqrt{2} - 12\sqrt{3}\] \[6 - 18\sqrt{2} + 12\sqrt{3} + 18\sqrt{2} - 12\sqrt{3}\]Приведем подобные члены:
\[6 + (-18\sqrt{2} + 18\sqrt{2}) + (12\sqrt{3} - 12\sqrt{3})\] \[6 + 0 + 0 = 6\]Ответ: 6
18. Тип 18 № 3813
В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC, диагональ BD = 32, угол A = 45°, меньшее основание BC = 8√15.
Нужно найти большую боковую сторону.
Проведём высоту BH к основанию AD. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Так как угол A = 45°, то угол ABH = 90° - 45° = 45°. Значит, треугольник ABH равнобедренный, и AH = BH.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. В нём AB — катет, лежащий против угла в 45°, поэтому AB = BH. Запишем теорему Пифагора для треугольника ABH:
\[AB^2 + AH^2 = BD^2\] \[BH^2 + BH^2 = 32^2\] \[2BH^2 = 1024\] \[BH^2 = 512\] \[BH = \sqrt{512} = 16\sqrt{2}\]Теперь рассмотрим прямоугольник BCDH. В нём HD = AD - AH. Так как AH = BH, то AH = 16√2. Также BC = 8√15. Тогда:
\[HD = AD - AH = AD - 16\sqrt{2}\]Из прямоугольника BCDH, CD = BH = 16\sqrt{2}.
Рассмотрим прямоугольный треугольник CDH. По теореме Пифагора:
\[CD^2 = CH^2 + HD^2\] \[CD^2 = (AD - BC)^2 + BH^2\]Большая боковая сторона трапеции равна CD. BH = 16√2.
\[CD = \sqrt{BH^2 + (AD-BC)^2}\]В данном случае, треугольник ABH равнобедренный, значит AH = BH = 16√2. Так как BCDH — прямоугольник, то AD = AH + HD, где HD = BC. Тогда:
\[AD = 16\sqrt{2} + 8\sqrt{15}\] \[CD = \sqrt{(16\sqrt{2})^2 + (16\sqrt{2})^2}\] \[CD = \sqrt{512 + 512} = \sqrt{1024} = 32\]Ответ: 32
