Определите по чертежу, сколько решений имеет задача, если известно, что значения x и y могут быть только натуральными числами.

Решение:

Задача сводится к нахождению количества пар натуральных чисел \( (x, y) \), удовлетворяющих системе неравенств:

\( \begin{cases} 4x + 5y \le 20 \\ x + y \ge 3 \end{cases} \)

Натуральные числа — это числа, которые используются для счёта предметов; ноль к натуральным числам не относится. То есть \( x \in \{1, 2, 3, ...\} \) и \( y \in \{1, 2, 3, ...\}.\)

Рассмотрим первое неравенство \( 4x + 5y \le 20 \).

• Если \( x = 1 \), то \( 4 + 5y \le 20 \Rightarrow 5y \le 16 \Rightarrow y \le 3.2 \). Возможные натуральные значения \( y \): 1, 2, 3. Пары: \( (1, 1), (1, 2), (1, 3) \).
• Если \( x = 2 \), то \( 8 + 5y \le 20 \Rightarrow 5y \le 12 \Rightarrow y \le 2.4 \). Возможные натуральные значения \( y \): 1, 2. Пары: \( (2, 1), (2, 2) \).
• Если \( x = 3 \), то \( 12 + 5y \le 20 \Rightarrow 5y \le 8 \Rightarrow y \le 1.6 \). Возможное натуральное значение \( y \): 1. Пара: \( (3, 1) \).
• Если \( x = 4 \), то \( 16 + 5y \le 20 \Rightarrow 5y \le 4 \Rightarrow y \le 0.8 \). Натуральных значений \( y \) нет.

Теперь проверим второе неравенство \( x + y \ge 3 \) для найденных пар:

• \( (1, 1) \): \( 1 + 1 = 2 \), \( 2 < 3 \) — не подходит.
• \( (1, 2) \): \( 1 + 2 = 3 \), \( 3 \ge 3 \) — подходит.
• \( (1, 3) \): \( 1 + 3 = 4 \), \( 4 \ge 3 \) — подходит.
• \( (2, 1) \): \( 2 + 1 = 3 \), \( 3 \ge 3 \) — подходит.
• \( (2, 2) \): \( 2 + 2 = 4 \), \( 4 \ge 3 \) — подходит.
• \( (3, 1) \): \( 3 + 1 = 4 \), \( 4 \ge 3 \) — подходит.

Таким образом, подходящие пары натуральных чисел:

• \( (1, 2) \)
• \( (1, 3) \)
• \( (2, 1) \)
• \( (2, 2) \)
• \( (3, 1) \)

Всего таких пар 5.

Ответ: 5.