Определите напряжение между выводами А и В цепи, схема которой изображена на рисунке. Ответ дайте в милливольтах, округлив до целого числа. Через резистор сопротивлением 15 Ω протекает ток 2 мА.

Решение:

Задана электрическая цепь со следующими компонентами:

• Резистор R₁ = 15 Ω, через который протекает ток I₁ = 2 мА.
• Резистор R₂ = 15 Ω.
• Резистор R₃ = 30 Ω.
• Резистор R₄ = 10 Ω.
• Выводы цепи: А и В.

1. Найдем напряжение на резисторе R₁.

Используем закон Ома: \( U = I \cdot R \)

\( U_1 = I_1 \cdot R_1 \)

Переведем ток из миллиампер в амперы: \( I_1 = 2 \text{ мА} = 0.002 \text{ А} \)

\( U_1 = 0.002 \text{ А} \cdot 15 \text{ Ω} = 0.03 \text{ В} \)

2. Определим распределение токов и напряжений в цепи.

Резисторы R₁ и R₂ (оба по 15 Ω) соединены параллельно. Ток, протекающий через R₁ (I₁ = 2 мА), известен. Поскольку R₁ = R₂, ток через R₂ (I₂) будет таким же: \( I_2 = 2 \text{ мА} \).

Напряжение на параллельном участке (между точками соединения R₁, R₂ и R₃) равно напряжению на R₁: \( U_{12} = U_1 = 0.03 \text{ В} \).

Ток, вытекающий из узла, в котором находятся R₁ и R₂, и входящий в узел, где соединяются R₂, R₃ и R₄, будет суммой токов через R₁ и R₂, если бы они не были разделены. Однако, более корректно рассмотреть узлы.

Общий ток, идущий через резистор R₁ (15 Ω) и R₂ (15 Ω) параллельно, равен \( I_{12} = I_1 + I_2 = 2 \text{ мА} + 2 \text{ мА} = 4 \text{ мА} \).

Напряжение на этом параллельном участке (между точками соединения R₁, R₂, R₃) равно \( U_{12} = I_{12} \cdot R_{eq} \), где \( R_{eq} \) — эквивалентное сопротивление параллельного участка. \( R_{eq} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = \frac{15 \cdot 15}{15 + 15} = \frac{225}{30} = 7.5 \text{ Ω} \).

\( U_{12} = 0.004 \text{ А} \cdot 7.5 \text{ Ω} = 0.03 \text{ В} \). Это совпадает с \( U_1 \), что логично.

Резистор R₃ (30 Ω) соединен параллельно с участком, состоящим из R₁ и R₂. Следовательно, напряжение на R₃ такое же, как и на R₁ и R₂: \( U_3 = U_{12} = 0.03 \text{ В} \).

Ток через R₃: \( I_3 = \frac{U_3}{R_3} = \frac{0.03 \text{ В}}{30 \text{ Ω}} = 0.001 \text{ А} = 1 \text{ мА} \).

3. Найдем напряжение между выводами А и В.

Напряжение между выводами А и В равно сумме напряжений на параллельном участке (между точкой А и узлом перед R₄) и на резисторе R₄.

Общий ток, который входит в точку А, распределяется. Однако, из условия задачи известно, что через резистор сопротивлением 15 Ω протекает ток 2 мА. В схеме два резистора по 15 Ω. Предположим, что речь идет об одном из них, который соединен в верхней части схемы.

Ток, который проходит через верхний резистор 15 Ω, равен 2 мА. Следовательно, напряжение на этом резисторе равно \( U = 2 \text{ мА} \cdot 15 \text{ Ω} = 0.002 \text{ А} \cdot 15 \text{ Ω} = 0.03 \text{ В} \). Этот участок соединен параллельно с нижним резистором 15 Ω. Ток 2 мА протекает через верхний резистор 15 Ω. Этот ток, пройдя через верхний резистор 15 Ω, поступает в узел, где соединяется с током от нижнего резистора 15 Ω и далее идет на резистор 10 Ω.

Пересмотрим схему, исходя из того, что через один из резисторов 15 Ω течет ток 2 мА.

У нас есть два резистора по 15 Ω, соединенных параллельно. Далее они соединяются с резистором 30 Ω, который также подключен к той же точке. Это означает, что два резистора 15 Ω и один резистор 30 Ω соединены параллельно.

Если ток 2 мА протекает через верхний резистор 15 Ω:

\( U_{верхнего \ 15Ω} = 2 \text{ мА} \cdot 15 \text{ Ω} = 0.002 \text{ А} \cdot 15 \text{ Ω} = 0.03 \text{ В} \).

Этот участок параллелен нижнему резистору 15 Ω и резистору 30 Ω. Значит, напряжение на каждом из них также равно 0.03 В, если бы они были непосредственно подключены к источнику, который создает такое напряжение.

Однако, схема устроена иначе: верхний резистор 15 Ω и нижний резистор 15 Ω находятся в параллели, и этот общий участок соединен последовательно с резистором 10 Ω. Резистор 30 Ω соединен параллельно с участком из двух резисторов 15 Ω.

Исходя из изображения:

1. Два резистора по 15 Ω соединены параллельно. Напряжение на этом участке мы можем найти, если знаем ток через один из них. Из условия: через резистор сопротивлением 15 Ω протекает ток 2 мА.

Предположим, что этот ток (2 мА) протекает через верхний резистор 15 Ω.

\( U_{верхнего \ 15Ω} = 2 \text{ мА} \cdot 15 \text{ Ω} = 0.002 \text{ А} \cdot 15 \text{ Ω} = 0.03 \text{ В} \).

Так как верхний и нижний резисторы по 15 Ω соединены параллельно, то напряжение на каждом из них одинаково.

\( U_{нижнего \ 15Ω} = U_{верхнего \ 15Ω} = 0.03 \text{ В} \).

Ток через нижний резистор 15 Ω: \( I_{нижнего \ 15Ω} = \frac{U_{нижнего \ 15Ω}}{15 \text{ Ω}} = \frac{0.03 \text{ В}}{15 \text{ Ω}} = 0.002 \text{ А} = 2 \text{ мА} \).

Общий ток, протекающий через параллельное соединение двух резисторов по 15 Ω: \( I_{параллельно} = I_{верхнего} + I_{нижнего} = 2 \text{ мА} + 2 \text{ мА} = 4 \text{ мА} \).

Напряжение на этом параллельном участке: \( U_{параллельно} = I_{параллельно} \cdot R_{параллельно} \), где \( R_{параллельно} = \frac{15 \cdot 15}{15 + 15} = 7.5 \text{ Ω} \).

\( U_{параллельно} = 0.004 \text{ А} \cdot 7.5 \text{ Ω} = 0.03 \text{ В} \).

Резистор 30 Ω соединен параллельно с этим участком. Поэтому напряжение на нем также равно 0.03 В.

Теперь рассмотрим весь участок от точки А до узла перед резистором 10 Ω. Этот узел является точкой соединения резистора 30 Ω и параллельного соединения двух резисторов 15 Ω.

Напряжение между выводами А и В складывается из напряжения на параллельном участке (два резистора по 15 Ω) и напряжения на резисторе 10 Ω, если резистор 30 Ω не рассматривать как отдельный элемент, а как ответвление.

Схема интерпретируется следующим образом:

Узел 1: точка А.

Узел 2: точка соединения верхнего 15 Ω, нижнего 15 Ω и 30 Ω резисторов.

Узел 3: точка соединения верхнего 15 Ω, 30 Ω и резистора 10 Ω.

Узел 4: точка В.

Из условия: ток через резистор 15 Ω равен 2 мА.

Пусть это верхний резистор 15 Ω.

1. Напряжение на верхнем резисторе 15 Ω: \( U_{R1} = 2 \text{ мА} \cdot 15 \text{ Ω} = 0.002 \text{ А} \cdot 15 \text{ Ω} = 0.03 \text{ В} \).

2. Резистор 30 Ω соединен параллельно с верхним резистором 15 Ω. Значит, напряжение на нем тоже 0.03 В. Ток через 30 Ω: \( I_{R3} = \frac{0.03 \text{ В}}{30 \text{ Ω}} = 0.001 \text{ А} = 1 \text{ мА} \).

3. Резистор 15 Ω (нижний) соединен параллельно с верхним 15 Ω и 30 Ω. Значит, напряжение на нем также 0.03 В. Ток через нижний 15 Ω: \( I_{R2} = \frac{0.03 \text{ В}}{15 \text{ Ω}} = 0.002 \text{ А} = 2 \text{ мА} \).

4. Общий ток, входящий в узел 2 (где соединяются R1, R2, R3), будет суммой токов, если бы они были перед узлом. Но в данном случае, ток 2мА течет через R1. Общий ток, выходящий из узла 2 и идущий к резистору 10 Ω, равен сумме токов через R1, R2 и R3, если бы они были объединены в один эквивалент, что не так.

Более правильная интерпретация схемы:

Точка А. От нее идет провод к узлу, где соединяются:

• Резистор 15 Ω (верхний).
• Резистор 15 Ω (нижний).
• Резистор 30 Ω.

Далее, из этого же узла (узел 2), идет провод к резистору 10 Ω, который ведет к точке В.

Условие: Через резистор сопротивлением 15 Ω протекает ток 2 мА.

Пусть это будет верхний резистор.

\( U_{15Ω, верх} = 2 \text{ мА} \cdot 15 \text{ Ω} = 0.002 \text{ А} \cdot 15 \text{ Ω} = 0.03 \text{ В} \).

Так как резистор 30 Ω соединен параллельно с этим резистором, напряжение на резисторе 30 Ω также равно 0.03 В.

\( U_{30Ω} = 0.03 \text{ В} \).

Ток через резистор 30 Ω: \( I_{30Ω} = \frac{0.03 \text{ В}}{30 \text{ Ω}} = 0.001 \text{ А} = 1 \text{ мА} \).

Резистор 15 Ω (нижний) также соединен параллельно с верхним 15 Ω и 30 Ω. Следовательно, напряжение на нем тоже 0.03 В.

\( U_{15Ω, ниж} = 0.03 \text{ В} \).

Ток через нижний резистор 15 Ω: \( I_{15Ω, ниж} = \frac{0.03 \text{ В}}{15 \text{ Ω}} = 0.002 \text{ А} = 2 \text{ мА} \).

Теперь найдем общий ток, который проходит через резистор 10 Ω.

Этот общий ток является суммой токов, протекающих через все три параллельных резистора (два по 15 Ω и один 30 Ω).

\( I_{общий} = I_{15Ω, верх} + I_{15Ω, ниж} + I_{30Ω} = 2 \text{ мА} + 2 \text{ мА} + 1 \text{ мА} = 5 \text{ мА} \).

Этот общий ток протекает через резистор 10 Ω. Таким образом, напряжение на резисторе 10 Ω:

\( U_{10Ω} = I_{общий} \cdot R_{10Ω} = 5 \text{ мА} \cdot 10 \text{ Ω} = 0.005 \text{ А} \cdot 10 \text{ Ω} = 0.05 \text{ В} \).

Напряжение между выводами А и В равно сумме напряжений на параллельном участке (участке, где R1, R2, R3) и на резисторе 10 Ω.

\( U_{AB} = U_{параллельный \ участок} + U_{10Ω} \).

Напряжение на параллельном участке (между узлом А и узлом перед 10 Ω) равно напряжению на любом из параллельных резисторов, которое мы нашли: \( U_{параллельный \ участок} = 0.03 \text{ В} \).

\( U_{AB} = 0.03 \text{ В} + 0.05 \text{ В} = 0.08 \text{ В} \).

Переведем напряжение в милливольты:

\( U_{AB} = 0.08 \text{ В} \cdot 1000 \text{ мВ/В} = 80 \text{ мВ} \).

Ответ нужно дать в милливольтах, округлив до целого числа. 80 мВ является целым числом.

Проверка:

Пусть напряжение на параллельном участке равно U. Тогда ток через верхний 15 Ом резистор: \( I_1 = U / 15 \).

Ток через нижний 15 Ом резистор: \( I_2 = U / 15 \).

Ток через 30 Ом резистор: \( I_3 = U / 30 \).

По условию, ток через один из резисторов 15 Ом равен 2 мА. Пусть это \( I_1 \).

\( U / 15 = 2 \text{ мА} \)

\( U = 15 \text{ Ом} \cdot 2 \text{ мА} = 15 \text{ Ом} \cdot 0.002 \text{ А} = 0.03 \text{ В} \).

Это напряжение на параллельном участке.

Тогда \( I_2 = 0.03 \text{ В} / 15 \text{ Ом} = 0.002 \text{ А} = 2 \text{ мА} \).

\( I_3 = 0.03 \text{ В} / 30 \text{ Ом} = 0.001 \text{ А} = 1 \text{ мА} \).

Общий ток через резистор 10 Ом: \( I_{10Ω} = I_1 + I_2 + I_3 = 2 \text{ мА} + 2 \text{ мА} + 1 \text{ мА} = 5 \text{ мА} \).

Напряжение на резисторе 10 Ом: \( U_{10Ω} = 5 \text{ мА} \cdot 10 \text{ Ом} = 0.005 \text{ А} \cdot 10 \text{ Ом} = 0.05 \text{ В} \).

Напряжение между выводами А и В равно сумме напряжения на параллельном участке и напряжения на резисторе 10 Ом.

\( U_{AB} = U_{параллельный \ участок} + U_{10Ω} = 0.03 \text{ В} + 0.05 \text{ В} = 0.08 \text{ В} \).

В милливольтах: \( 0.08 \text{ В} \cdot 1000 = 80 \text{ мВ} \).

Ответ: 80 мВ.