Определите коэффициент жёсткости пружины, используемой в пружинном маятнике, если груз массой 200 г колеблется на нём с частотой 2,3 Гц.

Решение:

Для начала, запишем формулу для периода колебаний пружинного маятника:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \]

Где:

• \( T \) – период колебаний, измеряется в секундах (с);
• \( m \) – масса груза, измеряется в килограммах (кг);
• \( k \) – коэффициент жёсткости пружины, измеряется в ньютонах на метр (Н/м).

Нам дана частота колебаний \( f = 2.3 \) Гц. Период и частота связаны соотношением:

\[ T = \frac{1}{f} \]

Следовательно, период колебаний равен:

\[ T = \frac{1}{2.3} \approx 0.435 \ \text{с} \]

Масса груза дана в граммах, её нужно перевести в килограммы:

\[ m = 200 \ \text{г} = 0.2 \ \text{кг} \]

Теперь выразим коэффициент жёсткости \( k \) из формулы для периода:

\( T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \) возведём обе части в квадрат:

\[ T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k} \]

Теперь выразим \( k \):

\[ k = \frac{4\pi^2 m}{T^2} \]

Подставим известные значения:

\[ k = \frac{4 \cdot (3.14)^2 \cdot 0.2}{(0.435)^2} \approx \frac{4 \cdot 9.86 \cdot 0.2}{0.189} \approx \frac{7.888}{0.189} \approx 41.74 \ \text{Н/м} \]

Ответ округлим до десятых:

\[ k \approx 41.7 \ \text{Н/м} \]