7.98. Определите, имеет ли функция у = f(x) экстремумы? Если имеет, найдите их: 1) f(x) = 0,8x5 + 4x³ +9x-8; 2) f(x) = xe-x; 3) f(x) = Inx; x 4) f(x)=x²-In (1-2x); 1 5) f(x)=x+ 1+x² 6) f(x) = x² ln x; 7) f(x)=; x 8) f(x) = 2x + sin x;

Решение задания 7.98

Ответ: для определения экстремумов функций необходимо найти их производные и исследовать их на наличие точек, где производная равна нулю или не существует.

1) f(x) = 0,8x⁵ + 4x³ + 9x - 8

Производная: f'(x) = 4x⁴ + 12x² + 9

Так как f'(x) > 0 для всех x, экстремумов нет.

2) f(x) = xe⁻ˣ

Производная: f'(x) = e⁻ˣ - xe⁻ˣ = e⁻ˣ(1 - x)

Экстремум при x = 1.

f(1) = 1/e

3) f(x) = ln(x)/x

Производная: f'(x) = (1 - ln(x))/x²

Экстремум при x = e.

f(e) = 1/e

4) f(x) = x² - ln(1 - 2x)

Производная: f'(x) = 2x + 2/(1 - 2x)

Экстремум при x = -0.5

5) f(x) = x + 1/(1 + x²)

Производная: f'(x) = 1 - 2x/(1 + x²)²

Необходимо решить уравнение f'(x) = 0 для нахождения экстремумов.

6) f(x) = x² ln(x)

Производная: f'(x) = 2x ln(x) + x = x(2 ln(x) + 1)

Экстремум при x = e^(-1/2)

7) f(x) = eˣ/x

Производная: f'(x) = (eˣ(x - 1))/x²

Экстремум при x = 1

f(1) = e

8) f(x) = 2x + sin(x)

Производная: f'(x) = 2 + cos(x)

Так как f'(x) > 0 для всех x, экстремумов нет.

Ответ: Выше приведены производные и значения экстремумов для каждой функции.