Давайте разберем каждое предложение и определим, где слово пишется слитно:
1. «Этот день я буду праздновать (в)продолжение всей моей жизни...» - Здесь «в продолжение» пишется раздельно, потому что это существительное с предлогом.
2. «Ещё (в)течение нынешней ночи король должен переселиться далеко-далеко от здешних мест!» - Здесь «в течение» также пишется раздельно, это предлог, указывающий на время.
3. «Стриженый его затылок круто и неподвижно торчит (на)встречу любопытным взорам всех товарищей.» - «Навстречу» пишется слитно, так как это наречие.
4. «Склонность к самохвальству (за)счёт всякого другого лица свойственна огромному большинству малышей.» - Здесь «за счёт» пишется раздельно, это предлог с существительным.
Таким образом, правильный ответ находится в третьем предложении. Слово, которое нужно выписать – это «навстречу».