Определи наибольшее и наименьшее значения функции x(t) = 2t3 – 4t + 8, если 1≤ t ≤3.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим производную функции: \[x'(t) = 6t^2 - 4\]
2. Шаг 2: Приравниваем производную к нулю и находим корни уравнения: \[6t^2 - 4 = 0\] \[t^2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\] \[t = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} \approx \pm 0.816\] Так как задан отрезок \[1 \le t \le 3\], корень \(t = -\sqrt{\frac{2}{3}}\) не принадлежит этому отрезку.
3. Шаг 3: Проверяем, принадлежит ли корень \(t = \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 0.816\) отрезку \[1 \le t \le 3\]. Так как \[0.816 < 1\], этот корень также не рассматриваем.
4. Шаг 4: Вычисляем значения функции на концах отрезка, то есть при \[t = 1\] и \[t = 3\]:
   • При \[t = 1\]: \[x(1) = 2(1)^3 - 4(1) + 8 = 2 - 4 + 8 = 6\]
   • При \[t = 3\]: \[x(3) = 2(3)^3 - 4(3) + 8 = 2(27) - 12 + 8 = 54 - 12 + 8 = 50\]
5. Шаг 5: Сравниваем значения функции на концах отрезка и выбираем наибольшее и наименьшее значения:
   • Наименьшее значение: \[x_{\text{наим}} = 6\]
   • Наибольшее значение: \[x_{\text{наиб}} = 50\]

Ответ: x_наим = 6, x_наиб = 50