Определенный интеграл \( \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x \cos \frac{x}{2} dx \) равен ...

Решение:

Для решения этого определенного интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям выглядит так: \( \int u dv = uv - \int v du \).

Пусть \( u = x \) и \( dv = \cos \frac{x}{2} dx \).

Тогда найдём \( du \) и \( v \):

• \( du = dx \)
• \( v = \int \cos \frac{x}{2} dx = 2 \sin \frac{x}{2} \)

Теперь подставим это в формулу интегрирования по частям:

\[ \int x \cos \frac{x}{2} dx = x \left( 2 \sin \frac{x}{2} \right) - \int 2 \sin \frac{x}{2} dx \]\[ = 2x \sin \frac{x}{2} - 2 \int \sin \frac{x}{2} dx \]\[ = 2x \sin \frac{x}{2} - 2 \left( -2 \cos \frac{x}{2} \right) + C \]\[ = 2x \sin \frac{x}{2} + 4 \cos \frac{x}{2} + C \]

Теперь найдём значение определенного интеграла, подставив пределы интегрирования от \( -\frac{\pi}{2} \) до \( \frac{\pi}{2} \):

\[ \left[ 2x \sin \frac{x}{2} + 4 \cos \frac{x}{2} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \]\[ = \left( 2\left(\frac{\pi}{2}\right) \sin \frac{\frac{\pi}{2}}{2} + 4 \cos \frac{\frac{\pi}{2}}{2} \right) - \left( 2\left(-\frac{\pi}{2}\right) \sin \frac{-\frac{\pi}{2}}{2} + 4 \cos \frac{-\frac{\pi}{2}}{2} \right) \]\[ = \left( \pi \sin \frac{\pi}{4} + 4 \cos \frac{\pi}{4} \right) - \left( -\pi \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) + 4 \cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) \]\[ = \left( \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) - \left( -\pi \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \]\[ = \left( \frac{\pi\sqrt{2}}{2} + 2\sqrt{2} \right) - \left( \frac{\pi\sqrt{2}}{2} + 2\sqrt{2} \right) \]\[ = 0 \]

Также можно заметить, что подынтегральная функция \( f(x) = x \cos \frac{x}{2} \) является нечетной, так как \( f(-x) = (-x) \cos \frac{-x}{2} = -x \cos \frac{x}{2} = -f(x) \). Интеграл от нечетной функции по симметричному интервалу \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) равен нулю.

Ответ: 0