Определенный интеграл \(\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{1+x}} dx\) равен ...

Решение:

Для вычисления интеграла \(\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{1+x}} dx\) воспользуемся заменой переменной.

1. Пусть \( t = \sqrt{1+x} \). Тогда \( t^2 = 1+x \) и \( x = t^2 - 1 \).
2. Дифференцируем обе части: \( 2t dt = dx \).
3. Изменяем пределы интегрирования:
• При \( x=0 \), \( t = \sqrt{1+0} = 1 \).
• При \( x=3 \), \( t = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2 \).
4. Подставляем замену в интеграл:

\[ \int_{1}^{2} \frac{t^2 - 1}{t} \cdot 2t dt = \int_{1}^{2} 2(t^2 - 1) dt = 2 \int_{1}^{2} (t^2 - 1) dt \]

5. Вычисляем полученный интеграл:

\[ 2 \left[ \frac{t^3}{3} - t \right]_{1}^{2} = 2 \left( (\frac{2^3}{3} - 2) - (\frac{1^3}{3} - 1) \right) \]

\[ = 2 \left( (\frac{8}{3} - 2) - (\frac{1}{3} - 1) \right) = 2 \left( (\frac{8}{3} - \frac{6}{3}) - (\frac{1}{3} - \frac{3}{3}) \right) \]

\[ = 2 \left( \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) \right) = 2 \left( \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \right) = 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \]

Ответ: $$\frac{8}{3}$$