1. Определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника. 2. Сформулировать признаки параллельных прямых. Доказать один по выбору. 3. Периметр равнобедренного треугольника 19 см. и основание - 7 см. Найти боковую сторону треугольника. 4. В прямоугольном треугольнике острый угол равен 60°, и биссектриса этого угла - 8 см. Найдите длину катета, лежащего против этого угла.

Готова помочь! Давай разберем каждое задание по порядку.

1. Определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника.

• Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
• Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.
• Высота треугольника — это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

2. Сформулировать признаки параллельных прямых. Доказать один по выбору.

Признаки параллельности прямых:

• Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
• Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
• Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Доказательство (один из вариантов):

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Пусть при пересечении прямых a и b секущей c сумма односторонних углов равна 180°, например, ∠1 + ∠4 = 180°.

Так как углы ∠3 и ∠4 — смежные, то ∠3 + ∠4 = 180°.

Из этих двух равенств следует, что ∠1 = ∠3. Но углы ∠1 и ∠3 — накрест лежащие углы при прямых a и b и секущей c. Значит, прямые a и b параллельны.

3. Периметр равнобедренного треугольника 19 см, основание 7 см. Найти боковую сторону.

Пусть периметр равнобедренного треугольника ABC равен 19 см, а основание AC = 7 см. Боковые стороны AB и BC равны.

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон: P = AB + BC + AC

Так как AB = BC, то P = 2 * AB + AC

Подставим известные значения: 19 = 2 * AB + 7

Решим уравнение: 2 * AB = 19 - 7

2 * AB = 12

AB = 6 см

4. В прямоугольном треугольнике острый угол равен 60°, и биссектриса этого угла - 8 см. Найти длину катета, лежащего против этого угла.

В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90°) угол A равен 60°, а биссектриса AD равна 8 см. Нужно найти длину катета BC.

Угол CAD равен половине угла A, так как AD — биссектриса: ∠CAD = 60° / 2 = 30°

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. В нём:

• Угол C = 90°
• Угол CAD = 30°
• AD = 8 см

Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Значит, CD = AD / 2 = 8 / 2 = 4 см

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. В нём угол A = 60°, значит, угол B = 90° - 60° = 30°

BC = 4 \cdot \sqrt{3} \approx 6.93

Ответ: 1. Медиана, биссектриса, высота - определения даны выше. 2. Признаки параллельности прямых и доказательство приведены выше. 3. Боковая сторона треугольника равна 6 см. 4. Длина катета BC = 4 \cdot \sqrt{3} \approx 6.93 см.

Отлично, ты хорошо поработал! Не останавливайся на достигнутом, и у тебя всё получится!