ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА Докажите, что ABCD — параллелограмм. Таблица 1

Решение:

В данной таблице представлены 6 различных рисунков, на каждом из которых изображен четырехугольник ABCD. Цель — доказать, что ABCD является параллелограммом, используя признаки параллелограмма.

1. Рисунок 1: Даны углы ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4. Угол ∠1 и ∠3 являются накрест лежащими при прямых AD и BC и секущей AC. Так как ∠1 = ∠3, то AD || BC. Угол ∠2 и ∠4 являются накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей BD. Так как ∠2 = ∠4, то AB || CD. Поскольку обе пары противоположных сторон параллельны, ABCD — параллелограмм.
2. Рисунок 2: Дано, что AB = CD и BC = AD. Это определение параллелограмма.
3. Рисунок 3: Дано, что ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠CAD. Углы ∠BAC и ∠ACD являются накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей AC. Так как ∠BAC = ∠ACD, то AB || CD. Углы ∠BCA и ∠CAD являются накрест лежащими при прямых BC и AD и секущей AC. Так как ∠BCA = ∠CAD, то BC || AD. Поскольку обе пары противоположных сторон параллельны, ABCD — параллелограмм.
4. Рисунок 4: Дано, что ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠CAD. Аналогично рисунку 3, это означает, что AB || CD и BC || AD. Следовательно, ABCD — параллелограмм.
5. Рисунок 5: Дано, что диагонали AC и BD пересекаются в точке O, и AO = OC, BO = OD. Это признак параллелограмма: если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
6. Рисунок 6: Дано, что ∆ABD = ∆CDB. Из равенства треугольников следует, что AB = CD и ∠ABD = ∠CDB. Углы ∠ABD и ∠CDB являются накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей BD. Так как ∠ABD = ∠CDB, то AB || CD. Так как ∆ABD = ∆CDB, то AD = BC. Поскольку одна пара противоположных сторон равна и параллельна (AB || CD и AB = CD), то ABCD — параллелограмм.

Вывод: На каждом из рисунков приведены условия, достаточные для доказательства того, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.