Она равностороннего треугольника равна 20√3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Разбираемся:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем сторону треугольника. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле \( S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \), где \( a \) - сторона треугольника.
2. Шаг 2: Подставим известную площадь и найдем сторону: \[ 20\sqrt{3} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \] Умножим обе части на 4: \[ 80\sqrt{3} = a^2 \sqrt{3} \] Разделим обе части на \(\sqrt{3}\): \[ 80 = a^2 \] Извлечем квадратный корень: \( a = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \).
3. Шаг 3: Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности вычисляется по формуле \( r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \).
4. Шаг 4: Подставим значение стороны: \[ r = \frac{4\sqrt{5} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{4\sqrt{15}}{6} = \frac{2\sqrt{15}}{3} \]

Ответ: \(\frac{2\sqrt{15}}{3}\)