8 Омск 9 Казань 12 12 5. 4) Найдите среднее арифметическое данного набора. 6) Найдите медиану данного набора. в) Какое из найденных средних лучше характеризует численность троллейбусных маршрутов крупного российского города? Кратко обоснуйте своё мнение. 4. На распиловочном станке пилят доски. Раз в год станок испытывают. Для этого измеряют толщину полученной доски в пяти разных местах и вычисляют дисперсию. Если дисперсия превышает 0,05, то станок нуждается в ремонте. В таблице даны результаты измерений. Номер измерения 1 2 3 4 5 Диаметр (мм) 18.1 18,5 18,5 18,6 18,3 а) Найдите размах измерений. 6) Найдите дисперсию измерений. в) Определите, нуждается ли станок в ремонте? Среднее арифметическое набора чисел равно 8, а дисперсия равна 5. Каждое число набора умножили на -3 и после этого увеличили на 2. Найдите а) среднее значение и б) дисперсию полученного набора.

Задание 1

а) Среднее арифметическое данного набора:

\[\frac{8 + 9}{2} = \frac{17}{2} = 8.5\]

б) Медиана данного набора:

Медиана - это число, которое находится посередине упорядоченного набора чисел. В данном случае у нас всего два числа (8 и 9), поэтому медианой будет среднее арифметическое этих чисел.

\[\frac{8 + 9}{2} = 8.5\]

в) Какое из найденных средних лучше характеризует численность троллейбусных маршрутов крупного российского города? Кратко обоснуйте своё мнение.

Оба значения (среднее арифметическое и медиана) одинаковы и равны 8.5. В данном случае, любое из них может характеризовать численность троллейбусных маршрутов. Однако, если бы в наборе были выбросы (значительно отличающиеся значения), медиана была бы более устойчивой характеристикой, так как она не зависит от конкретных значений, а только от их порядка.

Задание 4

а) Найдите размах измерений.

Размах измерений - это разница между максимальным и минимальным значениями в наборе данных.

Максимальное значение: 18.6

Минимальное значение: 18.1

Размах: \[18.6 - 18.1 = 0.5\]

б) Найдите дисперсию измерений.

Показать решение

Дисперсия - это мера разброса данных относительно среднего значения. Сначала найдем среднее значение:

\[\text{Среднее} = \frac{18.1 + 18.5 + 18.5 + 18.6 + 18.3}{5} = \frac{92}{5} = 18.4\]

Теперь вычислим дисперсию:

\[\text{Дисперсия} = \frac{(18.1 - 18.4)^2 + (18.5 - 18.4)^2 + (18.5 - 18.4)^2 + (18.6 - 18.4)^2 + (18.3 - 18.4)^2}{5}\]

\[\text{Дисперсия} = \frac{(-0.3)^2 + (0.1)^2 + (0.1)^2 + (0.2)^2 + (-0.1)^2}{5}\]

\[\text{Дисперсия} = \frac{0.09 + 0.01 + 0.01 + 0.04 + 0.01}{5} = \frac{0.16}{5} = 0.032\]

в) Определите, нуждается ли станок в ремонте?

Если дисперсия превышает 0.05, то станок нуждается в ремонте. В нашем случае дисперсия равна 0.032, что меньше 0.05. Значит, станок не нуждается в ремонте.

Задание 5

Среднее арифметическое набора чисел равно 8, а дисперсия равна 5. Каждое число набора умножили на -3 и после этого увеличили на 2. Найдите а) среднее значение и б) дисперсию полученного набора.

а) Среднее значение нового набора:

Пусть исходный набор чисел \[X = \{x_1, x_2, ..., x_n\}\]

Среднее арифметическое \[\bar{X} = 8\]

Новый набор \[Y = \{-3x_1 + 2, -3x_2 + 2, ..., -3x_n + 2\}\]

Новое среднее \[\bar{Y} = -3\bar{X} + 2 = -3 \cdot 8 + 2 = -24 + 2 = -22\]

б) Дисперсия нового набора:

Дисперсия исходного набора \[D(X) = 5\]

Дисперсия нового набора \[D(Y) = D(-3X + 2) = (-3)^2 D(X) = 9 \cdot 5 = 45\]

Проверка за 10 секунд: Убедитесь, что вы правильно вычислили размах, дисперсию и новые значения после преобразования.

Уровень Эксперт: Запомните, как линейные преобразования влияют на среднее значение и дисперсию набора данных.