Omleem: x = 20,000,000,8 Logx-1(2x^2-5x-3)=2

Решение:

Данное уравнение представляет собой логарифмическое уравнение с основанием \( x-1 \) и правой частью \( 2 \). Аргумент логарифма равен \( 2x^2 - 5x - 3 \).

Из условия логарифмического уравнения мы знаем, что:

1. Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице: \( x-1 > 0 \) и \( x-1 \neq 1 \), что означает \( x > 1 \) и \( x \neq 2 \).
2. Аргумент логарифма должен быть больше нуля: \( 2x^2 - 5x - 3 > 0 \).

Также, по определению логарифма, мы можем записать:

\[ \log_{x-1}(2x^2 - 5x - 3) = 2 \]

Это эквивалентно:

\[ 2x^2 - 5x - 3 = (x-1)^2 \]

Теперь решим это квадратное уравнение:

\[ 2x^2 - 5x - 3 = x^2 - 2x + 1 \]

Перенесём все члены в левую часть:

\[ 2x^2 - x^2 - 5x + 2x - 3 - 1 = 0 \]

\[ x^2 - 3x - 4 = 0 \]

Теперь найдём корни этого квадратного уравнения, используя дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{25} = 5 \)

Найдём значения \( x \):

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Теперь проверим полученные корни на соответствие условиям:

1. \( x > 1 \) и \( x \neq 2 \).

- Для \( x_1 = 4 \): \( 4 > 1 \) и \( 4 \neq 2 \). Это условие выполняется.

- Для \( x_2 = -1 \): \( -1 > 1 \). Это условие НЕ выполняется.

2. \( 2x^2 - 5x - 3 > 0 \) (аргумент логарифма).

- Для \( x_1 = 4 \): \( 2(4)^2 - 5(4) - 3 = 2(16) - 20 - 3 = 32 - 20 - 3 = 9 \). \( 9 > 0 \). Это условие выполняется.

- Для \( x_2 = -1 \): \( 2(-1)^2 - 5(-1) - 3 = 2(1) + 5 - 3 = 2 + 5 - 3 = 4 \). \( 4 > 0 \). Это условие выполняется.

Учитывая все условия, только \( x = 4 \) является решением.

Ответ: x = 4.