244 Олегу задали 10 одинаковых по трудности задач. Вероятность того, что Олег решит каждую отдельную задачу, равна 0,75. Найдите вероятность того, что Олег решит: а) все задачи; б) не менее 8 задач; в) не менее 6 задач.

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться формулой Бернулли:

$$P(X=k) = C_n^k * p^k * (1-p)^{(n-k)}$$

Где:

$$P(X=k)$$ - вероятность того, что событие произойдет ровно k раз в n испытаниях,

$$C_n^k$$ - количество сочетаний из n по k,

$$p$$ - вероятность успеха в одном испытании (в данном случае, вероятность решить задачу),

$$n$$ - количество испытаний (количество задач).

В данной задаче n = 10, p = 0,75.

а) Вероятность того, что Олег решит все задачи:

$$P(X=10) = C_{10}^{10} * (0.75)^{10} * (0.25)^{0} = 1 * 0.0563 * 1 = 0.0563$$

б) Вероятность того, что Олег решит не менее 8 задач:

Нужно найти сумму вероятностей для 8, 9 и 10 задач:

$$P(X \geq 8) = P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)$$ $$P(X=8) = C_{10}^{8} * (0.75)^{8} * (0.25)^{2} = \frac{10!}{8!2!} * 0.1001 * 0.0625 = 45 * 0.00625625 = 0.2815$$ $$P(X=9) = C_{10}^{9} * (0.75)^{9} * (0.25)^{1} = \frac{10!}{9!1!} * 0.0751 * 0.25 = 10 * 0.018775 = 0.1878$$ $$P(X=10) = C_{10}^{10} * (0.75)^{10} * (0.25)^{0} = 1 * 0.0563 * 1 = 0.0563$$ $$P(X \geq 8) = 0.2815 + 0.1878 + 0.0563 = 0.5256$$

в) Вероятность того, что Олег решит не менее 6 задач:

Нужно найти сумму вероятностей для 6, 7, 8, 9 и 10 задач:

$$P(X \geq 6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)$$ $$P(X=6) = C_{10}^{6} * (0.75)^{6} * (0.25)^{4} = \frac{10!}{6!4!} * 0.1780 * 0.0039 = 210 * 0.0006942 = 0.1458$$ $$P(X=7) = C_{10}^{7} * (0.75)^{7} * (0.25)^{3} = \frac{10!}{7!3!} * 0.1335 * 0.0156 = 120 * 0.0020826 = 0.2499$$ $$P(X=8) = 0.2815$$ $$P(X=9) = 0.1878$$ $$P(X=10) = 0.0563$$ $$P(X \geq 6) = 0.1458 + 0.2499 + 0.2815 + 0.1878 + 0.0563 = 0.9213$$

Ответ:

а) Ответ: 0.0563

б) Ответ: 0.5256

в) Ответ: 0.9213