Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника АВС, в котором АВ = ВС и \(\angle\) ABC = 177°. Найдите величину угла ВОС. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Дан равнобедренный треугольник \( \text{АВС} \) с \( \text{АВ} = \text{ВС} \). Центр описанной окружности \( \text{О} \) находится внутри треугольника, если все углы треугольника острые. Однако, \( \angle \text{ABC} = 177^{\circ} \), что является тупым углом. Следовательно, центр описанной окружности будет находиться вне треугольника, а вершина \( \text{B} \) будет находиться между центром \( \text{О} \) и стороной \( \text{АС} \).

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Найдём величину углов при основании \( \text{А} \) и \( \text{С} \):

\[ \angle \text{BAC} = \angle \text{BCA} = \frac{180^{\circ} - \angle \text{ABC}}{2} = \frac{180^{\circ} - 177^{\circ}}{2} = \frac{3^{\circ}}{2} = 1.5^{\circ} \]

Угол \( \angle \text{BOC} \) является центральным углом, опирающимся на дугу \( \text{BC} \). Угол \( \angle \text{BAC} \) является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу \( \text{BC} \).

Величина центрального угла, опирающегося на дугу, равна удвоенной величине вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Однако, поскольку угол \( \angle \text{ABC} \) тупой, центр окружности \( \text{О} \) лежит вне треугольника. В таких случаях центральный угол, опирающийся на дугу, может быть как больше, так и меньше развернутого угла, в зависимости от расположения дуги относительно центра. Важно, что \( \angle \text{BAC} \) — это вписанный угол, опирающийся на дугу \( \text{BC} \).

Следовательно, величина центрального угла \( \angle \text{BOC} \), который опирается на дугу \( \text{BC} \), равна удвоенной величине вписанного угла \( \angle \text{BAC} \), опирающегося на ту же дугу.

\[ \angle \text{BOC} = 2 \cdot \angle \text{BAC} = 2 \cdot 1.5^{\circ} = 3^{\circ} \]

Ответ: 3