4) Окружность с центром в точке О касается сторон МВ и МС треугольника МВС; ∠B=56°; 1С-74°. Найдите <MNB.

Решение:

1. Находим угол M: В треугольнике MBC сумма углов равна 180°, поэтому: \[\angle M = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 56^\circ - 74^\circ = 50^\circ\]
2. Определяем углы между касательными и радиусами: Так как радиусы, проведенные в точки касания (OK и OL), перпендикулярны касательным (MB и MC), то: \[\angle OKB = \angle OLC = 90^\circ\]
3. Находим углы KMO и LMO: OK и OL – биссектрисы углов B и C соответственно, значит: \[\angle KMO = \frac{1}{2} \angle BMO, \angle LMO = \frac{1}{2} \angle CMO\] Так как \(\angle B = 56^\circ\) и \(\angle C = 74^\circ\), то: \[\angle KMO = \frac{1}{2} \cdot 56^\circ = 28^\circ, \angle LMO = \frac{1}{2} \cdot 74^\circ = 37^\circ\]
4. Рассматриваем четырехугольник MOKL: Сумма углов четырехугольника равна 360°, следовательно: \[\angle KOL = 360^\circ - \angle OKM - \angle OLM - \angle KML = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 130^\circ\]
5. Находим угол KNL: Угол KNL – вписанный угол, опирающийся на дугу KL, а угол KOL – центральный угол, опирающийся на ту же дугу. Следовательно: \[\angle KNL = \frac{1}{2} \angle KOL = \frac{1}{2} \cdot 130^\circ = 65^\circ\]
6. Определяем угол MNB: Угол MNB является смежным с углом KNL, поэтому: \[\angle MNB = 180^\circ - \angle KNL = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ\]

Ответ: \(\angle MNB = 115^\circ\)