Окружность с центром в точке О делит отрезок АО пополам. Найдите угол между касательными, проведёнными из точки А.

Пусть точка пересечения окружности с отрезком АО будет М. По условию, М - середина АО, значит, ОМ = МА. Так как О - центр окружности, ОМ - радиус. Точка М лежит на окружности. Касательная к окружности в точке М перпендикулярна радиусу ОМ. Следовательно, угол АМК = 90 градусов, где К - точка касания. В треугольнике АМО, ОМ = МА, значит, треугольник АМО равнобедренный. Угол МОА = 2 * угол МАО. Угол МОА = 90 градусов, так как касательная перпендикулярна радиусу. В равнобедренном треугольнике АМО, углы при основании равны: угол МАО = угол МОА = 45 градусов. Угол между касательными, проведёнными из точки А, равен 2 * угол МАО = 2 * 45 = 90 градусов.