Окружность с центром B касается сторон прямого угла с вершиной A. Докажите, что окружность, построенная на AB как на своём диаметре, будет проходить через обе точки касания первой окружности (рис. 19).

Для доказательства того, что окружность, построенная на AB как на своём диаметре, проходит через точки касания первой окружности, рассмотрим рисунок 19.

Пусть окружность с центром B касается сторон прямого угла с вершиной A в точках P и Q. Тогда BP и BQ - радиусы этой окружности, перпендикулярные сторонам угла (по свойству касательной к окружности).

Так как угол PAQ прямой, то четырёхугольник APBQ - квадрат (все углы прямые, и BP = BQ как радиусы). Следовательно, AB - диагональ этого квадрата.

Окружность, построенная на AB как на диаметре, имеет центр в середине AB. Обозначим эту середину точкой O.

Рассмотрим треугольники APB и AQB. Они оба прямоугольные и равны (по двум катетам). Значит, углы PAB и QAB равны 45 градусам (так как AB - диагональ квадрата).

Поскольку AB - диаметр второй окружности, то любой угол, опирающийся на этот диаметр, является прямым. Пусть окружность с диаметром AB пересекает прямые AP и AQ в точках P' и Q' соответственно.

Тогда углы AP'B и AQ'B - прямые. Это означает, что точки P' и Q' совпадают с точками P и Q соответственно (так как AP и AQ перпендикулярны BP и BQ).

Таким образом, окружность, построенная на AB как на диаметре, проходит через точки касания P и Q первой окружности.

Ч.Т.Д.