16. Окружность с радиусом 5 и центром в точке о касается отрезка АВ в точке в. Отрезок до пересекает окружность в точке с. Найди длину отрезка АС, если АВ = 12.

Решение:

Давай разберем эту задачу по геометрии вместе. Нам нужно найти длину отрезка AC.

1. Построим рисунок и отметим известные данные.

2. Вспомним теорему о касательной и секущей:

   Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению всей секущей на ее внешнюю часть.

   В нашем случае: \( AB^2 = AC \cdot AO \)

3. Выразим AO через AC и радиус окружности:

   \( AO = AC + CO = AC + r \), где \( r = 5 \)

   Значит, \( AO = AC + 5 \)

4. Подставим известные значения в теорему о касательной и секущей:

   \( 12^2 = AC \cdot (AC + 10) \)

   \( 144 = AC^2 + 10 \cdot AC \)

5. Решим квадратное уравнение:

   \( AC^2 + 10 \cdot AC - 144 = 0 \)

   Используем дискриминант:

   \( D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144) = 100 + 576 = 676 \)

   \( \sqrt{D} = \sqrt{676} = 26 \)

   Теперь найдем корни:

   \( AC_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + 26}{2 \cdot 1} = \frac{16}{2} = 8 \)

   \( AC_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - 26}{2 \cdot 1} = \frac{-36}{2} = -18 \)

   Так как длина отрезка не может быть отрицательной, выбираем положительный корень.

Ответ: 8

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!