Окружность, проходящая через вершины А и В треугольника АВС, пересекает стороны АС и ВС в точках Ди Е соответственно. Известно, что окружность, описанная около треугольника DEC, проходит через точку F пересечения диагоналей четырёхугольника ABED. Известно, что ∠ABD = 35°, ∠BAE = 34°, ∠DBE = 21°. Найдите: a) /FDE = 6) ∠EDC = B) ∠FCD =

Решение:

Давай разберем эту задачу по геометрии шаг за шагом. Наша цель - найти углы ∠FDE, ∠EDC и ∠FCD, используя известные углы и свойства окружностей.

а) ∠FDE:

Сначала найдем ∠ADE. Так как ∠ABD = 35° и ∠DBE = 21°, то ∠ABE = ∠ABD + ∠DBE = 35° + 21° = 56°.

Углы ∠ADE и ∠ABE опираются на одну и ту же дугу AE окружности, проходящей через точки A, B, D и E. Следовательно, они равны: ∠ADE = ∠ABE = 56°.

Так как F - точка пересечения диагоналей четырехугольника ABED, а окружность, описанная около треугольника DEC, проходит через точку F, то четырехугольник DFEC - вписанный в окружность. Значит, сумма противоположных углов этого четырехугольника равна 180°.

∠DFE + ∠DCE = 180°.

Угол ∠FDE является смежным с углом ∠ADE, поэтому ∠FDE = 180° - ∠ADE = 180° - 56° = 124°.

б) ∠EDC:

Найдем ∠EAD. Так как ∠BAE = 34°, то ∠EAD = 34°.

Углы ∠EAD и ∠EBD опираются на одну и ту же дугу ED. Следовательно, они равны: ∠EBD = ∠EAD = 34°.

∠EBD = ∠DBE = 21°, значит ∠EBD = 21°.

Таким образом, ∠EDC = ∠EBD + ∠DBE = 34° + 21° = 55°.

в) ∠FCD:

Так как четырехугольник DFEC вписан в окружность, то ∠DFE + ∠DCE = 180°.

∠DFE = 180° - ∠DCE.

Угол ∠DCE равен углу ∠ACB в треугольнике ABC. Найдем угол ∠ABC: ∠ABC = ∠ABE + ∠EBC = 56° + 21° = 77°.

Найдем угол ∠BAC: ∠BAC = ∠BAE + ∠EAC = 34° + ∠EAC.

Так как ∠ADE = 56°, то ∠CDE = 180° - ∠ADE = 180° - 56° = 124°.

В четырехугольнике ABED сумма углов равна 360°, значит ∠BED = 360° - ∠BAE - ∠ABD - ∠ADE = 360° - 34° - 35° - 56° = 235°.

∠FEC = 180° - ∠BED = 180° - 235° = -55° (что невозможно).

Ошибка в рассуждениях. Вернемся к четырехугольнику DFEC.

∠FCD = ∠FED (так как опираются на одну дугу FD).

∠FED = ∠BED - ∠BEF.

∠BEF = ∠BAF (так как опираются на одну дугу BF).

∠BAF = ∠BAE + ∠EAF = 34° + ∠EAF.

∠EAF = ∠EDF (так как опираются на одну дугу EF).

∠EDF = ∠EDA + ∠ADF = ∠EDA + ∠ABF = 56° + 35° = 91°.

∠BAF = 34° + 91° = 125°.

∠BEF = 125°.

∠FED = 235° - 125° = 110°.

∠FCD = 110°.

Ответ:

a) ∠FDE = 124°

б) ∠EDC = 55°

в) ∠FCD = 110°

Отлично, ты хорошо справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!