Окружность касается сторон треугольника, длины которых равны 9, 10 и 11. Найдите длину наибольшего из отрезков, на которые точка касания делит сторону, равную 10.

Пусть стороны треугольника равны $$a=9$$, $$b=10$$, $$c=11$$. Пусть $$x$$, $$y$$, $$z$$ - длины отрезков от вершин до точек касания. Тогда $$a = y+z$$, $$b = x+z$$, $$c = x+y$$.

Решая систему уравнений, получаем $$x = (c+b-a)/2 = (11+10-9)/2 = 6$$, $$y = (a+b-c)/2 = (9+10-11)/2 = 4$$, $$z = (a+c-b)/2 = (9+11-10)/2 = 5$$.

Сторона, равная 10, делится точкой касания на отрезки длиной $$x=6$$ и $$y=4$$. Наибольший из них равен 6.